追本溯源，回归本质

魏新玉 杨田田 魏佳

◆摘要：数学史是学生学习数学的重要工具。在数学课堂中适当融入数学史，能向学生清楚地阐述数学的历史，揭示数学规律。本文借鉴了有关圆面积的数学史知识，分别从学生认知、思维和能力的角度，结合六年级学生学习特点，以“圆的面积”一课为例，为教师提供教学设计思路，展现数学史的魅力。

◆关键词：圆的面积;数学史;转化

一、研究背景

六年级学生具有一定的转化和类比推理能力，圆的面积这一节课是在学生已经有了一定的关于图形的周长和面积计算的学习基础之上进行的，如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形。既是学生初步研究曲线图形面积的开始，也是为后面学习圆柱、圆锥等知识打好基础。本节课结合数学史的教学设计，通过学生动手剪拼，体验“化曲为直”。

二、学情分析

（一）从学生认知角度

从学习一维点和线到学习二维的面，学生总是接触到直线图的面积，而对圆的曲线图的面积感到困惑。但以往在平面图形领域学习的转化思想是明确的，如将平行四边形变换为学过的长方形再求其面积等。

在本课程中，在寻找圆面积公式时，老师没有向学生灌输S=πr2，但学生们能够自行利用“转化”的思想，将圆运用已学知识转化成平行四边形、长方形等。通过学生动手操作剪切和拼接，交流、探讨其中的关系，从而推导出圆面积的计算公式。

（二）从学生思维角度

在学生已经具备转化和类比推理能力的情况下，难点并不在“转化”，而在于应该如何转化，这成为了学生的困惑。因此，在利用转化和类比推理的基础上，有必要与动手操作结合起来。

在实际的生活情境中，不仅能够激发学生参与课堂、融入课堂的兴趣，也为后续的学习奠定了基础。

（三）从学生能力角度

本课紧扣教学重点，让学生自主操作和总结，通过自由裁剪、拼接，将圆形面积通过等积变形转化为其他平面图形，推导出圆形面积的计算公式。这种多角度的思考激发了学生对知识的探索欲，也成为新旧知识之间的联系。

三、教学过程

（一）情境导入，引发思考

【问题情境】

（课件呈现）学校想要建一个半径为10m的新的圆形草坪，想在草坪边缘立桩，在里面种草。如果每2m打入一根木桩，应打入多少根木桩？如果草是每平方米10元，种草要多少钱？如图1

师：同学们能帮忙解决这个问题吗？

引导学生思考：想要秋应打入多少根木桩，需要先知道什么？怎样计算？要求种草花多少钱，又是在求什么？

[预设学生活动：学生经过思考不难发现：要求木桩的数量实际是求圆的周长，植草花费的金额需要先知道圆的面积，而学生还不能解决这个问题。]

师：圆的周长我们会算，圆的面積大家会算吗？

[预设学生活动：学生并不会算圆的面积，带有迷惑。]

【引入课题】

师：什么是圆的面积呢？应该如何计算呢？这节课，就让我们共同来研究圆的面积，只要我们认真学习，就能够解决这个问题。

（二）自主合作，探究新知

【直观感知，认识圆的面积】

请同学们拿出课前准备好的圆形卡纸，摸一摸，指出哪部分是圆的周长？

师：再亲自感受一下，和同桌说一说，哪部分是圆的面积？

[预设学生活动：拿出圆形卡片，摸一摸，与同桌交流，哪部分是面积，哪部分是周长。]

课件动态演示圆的周长（红色部分），然后在内部填充颜色（绿色部分）表示圆的面积。如图2。

【合作实践，了解测量方法】

引导学生思考、研究圆的面积的方法。

师：你能不能想出一个好的办法来测量圆的面积？

[预设学生活动：交流、讨论，想到可以在圆内画正方形或是数方格的方法来估计圆的面积。]

结合学生操作以及课件演示，学生发现数方格虽有道理，但有一定的局限性，也不够精确。

师：在实际生活中，我们往往要算出一个精确的结果，有没有一种既简便而又能准确地计算圆面积的方法呢？

【动手探索，推导公式】

（1）引导转化，渗透方法

师：以前我们学过哪些平面图形面积公式？当时是用什么样的方法推导出它们的公式呢？

课件动态演示学生汇报的方法。如图3

[预设学生活动：学生回忆以往学习过的求图形面积公式时所采用的的方法，交流汇报：①割补法;②合拼法;③合拼法。]

（2）动手操作，体验感知

师：想想看，能不能把圆转化成已经学过的图形来得出它的面积公式呢？请拿出课前准备好的学具，试一试，怎么剪和拼？

[预设学生活动：学生还是应该很难剪拼出来，这时教师及时引导学生可以沿半径或直径把圆等分剪拼。如有拼出来的，就请其说说剪拼的方法，并上展示台投影展示。]

师生共同研究、探讨如何剪拼。

操作活动一：

师：如果我们把这个圆16等分，又会拼成一个什么图形呢？

学生猜想、回答后，教师用教具演示。

师：想一想，如果我们继续，把圆再细分成更多的份数：32等分、128等分，拼成的图形会更接近什么图形？

[预设学生活动：通过直观演示把圆4等分、8等分、16等分……学生会容易发现：拼成的图形会越来越接近平行四边形。]

结合课件直观演示把圆分成64等份、128等份，转化成近似平行四边形形的过程。如图4

引导学生在小组内交流：有什么发现？

[预设学生活动：学生在观察、思考的过程中发现：圆等分的份数越多，拼出的图形越接近平行四边形。]

【交流讨论，引导发现】

师：仔细观察剪拼成的平行四边形，结合手中的学具，思考以下两个问题：

●拼成的平行四边形的面积与圆的面积有什么关系？

●拼成的平行四边形的底和高与圆的周长和半径有什么关系？

[预设学生活动：在学生认真观察、交流讨论后，汇报发现：1.剪拼前后，图形的面积不变。2.转化后，平行四边形的底相当于圆周长的一半：πr，高相当于圆的半径：r。如图5]

结合学生回答，进行板书。

师：虽然圆的外表发生了变化，但面积未更改。无论如何拼和小扇形，圆的面积保持不变，即出入相补原理（无论图形移动到何处以及如何剪切，拼接图形的面积将等于原始图形的面积）。

【顺理成章，推导公式】

师：通过刚才的观察可知，拼成的平行四边形的面积与圆的面积相等，那么，如屏幕所见。同学们思考，平行四边形的面积又可以写成什么？

师：因为拼成的平行四边形的面积等于原来圆的面积，所以圆的面积等于？

[预设学生活动：学生动脑思考、交流后发现，圆的面积=平行四边形的面积=圆周长的一半×半径。]

师：如果S表示圆的面积，r表示圆的半径，圆的面积公式用字母可以怎样表示？

[预设学生活动：学生根据长方形的面积公式，推导出圆的面积公式为S=πr2。发现圆的面积和半径有关。]

根据学生回答进行课件演示，并板书：S=πr×r=πr2。

强调：r2=r×r，表示两个r相乘，读作：r的平方。

（三）问题解决，提升素养

1.再次回到课前导入新课的问题，引导学生交流、解答。（如图7）

[预设学生活动：学生利用本节课刚推导出的圆的面积计算公式，解答课前未能解决的问题，获得成功的喜悦。]

2.出示喷灌装置图。（如图8）

师：同学们，这是生活中常用到的一种旋转喷灌装置，大家仔细观察，这其中藏着什么奥秘？

引導学生思考：若该喷灌装置的射程是15米。它能喷灌的面积是多少？（射程相当于圆的半径。）

3.出示马儿的困惑。（如图9）

提出问题：拴在树上的马儿，绳子长为3米，它能吃到草的面积最多是多少呢？

[预设学生活动：学生观察课件图片思考，不管是喷灌的面积还是马吃草的面积，其实都是想要求出圆的面积。]

（四）探寻历史，追本溯源

请同学们课后去查阅资料，看看这“1800字”到底藏了些什么秘密呢？

[预设学生活动：学生对“1800字”留有好奇之心，为课下探索做铺垫。]

（五）回顾总结，反馈评价

师：同学们，今天我们学了什么知识？是怎样学习的？你有什么收获和感受吗？整节课渗透了哪些数学思想方法？了解了那几位伟大的数学家？

[预设学生活动：学生思考回顾，踊跃分享本节课的收获和感受，总结数学“化曲为直”、极限思想、出入相补原理等……对本课的知识进行回顾和整理。]

教师与学生一起回顾本节课学到的数学知识、解决问题的思想方法。根据学生回答，给予正面评价及适当鼓励。

四、结束语

从生活情境入手，到提出问题，探索研究的方向与方法，引导学生推导出公式，教师在课堂上发挥的角色只是组织者和指导者，并在适当的时机进行点拨、引导。不仅能够培养学生的空间想象力，又可以发展学生的逻辑思维推理能力。结合数学史融入数学教学，渗透教学过程，使得所学知识有迹可循，有理可依。

课程结束设置悬念，留给学生课下阅读、探索数学史的空间。学生自我评价学习的收获及感受，可以对本课的知识进行回顾整理，培养学生归纳、总结知识的能力，学生的情感态度在课堂上得到表现，有助于学生充分认识自我，建立学习的自信心，增强学生动手能力，切实体会数学图形之美。

参考文献

[1]顾东春.开普勒与葡萄酒[J].课外生活：小学版，2007（03）.

[2]彭刚.出入相补原理及其应用[J].四川教育学院学报，2009，25（04）：108-109+112.