函数与方程思想在高中数学解题中的应用

陈华

◆摘  要：函数与方程思想是解决数学问题的一种常用思想。在解题过程中，学生可以利用变量与函数之间的关系，把未知转化为已知，通过分析和探究的方式来解决问题。学生在探究中需要主动思考各种数学变量，在逻辑思考中建构方程和方程组，明确函数关系，找到解题思路。

◆关键词：高中数学;函数与方程思想;解题

函数知识在高中数学中具有重要的地位，是高考热点，也是考试重点。为了顺利解决函数问题，学生就要学会函数与方程思想来分析问题，找到相关数据灵活转化，在梳理中理顺思路，解决问题。学生通过主动思考会感受到函数的变化和变量的动态，在分析中学会运用联系的观点来分析解题思路，找到解题方法，提高解题能力。

一、运用函数与方程思想进行逻辑思考

为了使学生快速而准确地解决问题，教师要引导学生在解题过程中学会逻辑思考。数学知识的逻辑性很强，通过一步步推理和分析的方式，学生会了解各种数量之间的逻辑关系，在思考中把握数量关系，理顺解题思路。例如：二次函数y=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，1]上时减函数，则 求实数a的取值范围。在解题过程中，学生很容易把二次函数的对称轴理解为x=-=1-a，所以1-a=1，a=0。这种思考方向是错误的，学生要避免这种错误的思考方向要认真考虑单调区间的区域及端点是否使函数有意义，通过逻辑思考的方式进行判断。

学生通过一步步思考，会找到解决问题的方法，学会把函数知识转变为方程，通过解方程的方式来解决问题，提高解题能力。

二、利用函数与方程思想客观推理判断

《高中数学课程标准》指出教师要引导学生学会推理判断，调动学生的主动性，促进学生通过主动思考的方式来理解知识，提高运算能力，学会建构模型，提高空间想象能力。学生通过主动推理判断会成为课堂的主人，在思考中結合自己的能力进行分析判断，通过主动思考的方式提高学习能力。学生运用函数与方程的思想进行推理，会快速找到解题思路，明确各种数量关系，提高解题效率。例如函数f（x）=2x--a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是多少？分析中，学生通过推理判断会认识到，因为函数f（x）=2x--a在区间（1，2）上单调递增，又函数f（x）=2x--a的一个零点在区间（1，2）内，则有f（1）·f（2）<0，所以（-a）（4-1-a）<0，即a（a-3）<0，解得0<a<3。有了函数思想作为解题的指导，学生会快速形成解题思路，把数学思想和方法运用到具体的解题过程中，提高学生的分析能力和探究能力，促进学生在对数据的加工中灵活转化，构造出函数的表达式，快速解题。

三、巧用函数与方程思想进行发散思维

函数与方程思想在解题中的应用会实现化繁为简，化难为易，让学生在建构函数关系时活跃思维，在发散思考中提炼出有效数据，形成对知识的客观性认识。学生在探究中会把抽象的数学知识具体化、形象化，把握各种数据之间的千丝万缕关系。通过函数与方程思想，学生会拓展思路，学会从不同角度分析问题，探究解题方法，在主动思考中解决问题。例如：某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出;若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入。

（1）求函数y=f（x）的解析式;

（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

在解答第一问时，学生会从题目中的已知信息进行思考和分析，把生活中的实际应用知识转变为函数知识，通过数学的方式解决问题。思考中，学生会认识到当x≤6时，y=50x-115，令50x-115>0，解得x>2.3。因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x>6时，会得到y=[50-3（x-6）]x-115=-3x2+68x-115。经计算认识到6<x≤20，x∈Z.函数的值为y=在解答第二问时，可以看到y=50x-115（3≤x≤6，x∈Z），显然当x=6时，ymax=185;而对于y=-3x2+68x-115=-32+（6<x≤20，x∈Z），当x=11时，ymax=270。通过比较和分析，可以看到日租金定为11元时，收益最多。在分析中，学生会主动思考，通过思维活动的方式了解各种数据之间的关系，形成客观性认识。学生通过思考和分析会了解隐藏在题目中的各种数据之间的千丝万缕的关系，促进学生提高理解，快速解题。

总之，教师要鼓励学生在解题过程中灵活地应用函数与方程的思想。学生了解了函数与方程的思想，在解题过程中会充分地发挥主观能动性，建构函数关系，梳理未知量之间的关系，在分析中简化问题，建构出知识规律。学生了解了解题方法会主动建模，掌握解题方法，在实践中提高解题能力，落实核心素养。

参考文献

[1]王海青.巧用函数思想妙解数学问题[J].名师在线，2018（36）：28-29.

[2]刘海东.巧妙运用函数思想，打造高中数学解题中的万能钥匙[J].中学数学研究（华南师范大学版），2016（23）：44-45.