基于电压幅值对数变换的配电网三相不平衡线性潮流计算

李红伟，潘力，韩璐，葛茗瑞

(1. 西南石油大学 电气信息学院，四川 成都 610500；2. 西南交通大学 电气工程学院，四川 成都 610031)

0 引言

潮流分析对于现代配电系统优化与管理尤为重要[1-3]。为解决配电网的非线性优化问题，国内外学者对线性潮流（linear power flow，LPF）进行了研究[4-6]。精确的LPF模型有助于得到更好的全局最优解，可以为电力行业带来良好的经济效益[7-9]。

大多数LPF主要考虑的是三相平衡配电网情况。文献[10]根据PQ节点的功率注入关系，得到近似的线性模型。文献[11]开发了一种直角坐标下的LPF模型。文献[12]利用一种曲线拟合技术处理负荷的电压静特性，对节点电压的实部、虚部进行了近似。文献[10-12]中的LPF方法是在直角坐标中导出的，节点电压被分解为实部和虚部，故不容易处理PV节点。文献[13-14]对节点电压相角差作了近似，推导得到LPF模型，但未讨论对PV节点的处理。文献[15]提出一种幅值、相角解耦的LPF模型，并详细推导了含PV节点的潮流计算式。文献[16]基于电压幅值的对数变换，建立了考虑无功功率和线路网损的输电网LPF模型。

上述的LPF模型都是在三相平衡系统中提出的，但在三相不平衡配电网络中应用时，则需要考虑三相电网的特点。文献[17]提出了一种三相线性近似潮流法。文献[18]利用线性逼近方程，得到了一种相对简单的多相辐射状配电网的LPF模型，但忽略了电压相角。文献[19-20]基于节点电压相量倒数进行潮流计算。文献[21]基于回路分析法和节点支路关联矩阵形式来描述配电网络拓扑。文献[19-21]提出的三相LPF模型均为直角坐标形式，无法考虑PV节点特性。文献[22]考虑到配电网中电压相角和幅值在相对较窄的边界内变化的事实，推导出三相LPF模型。文献[23]提出了主动配电网的近似线性三相潮流计算方法。

本文提出基于电压幅值对数变换的配电网三相LPF计算方法，不仅能计算辐射状和弱环状的三相不平衡配电网，而且解决了直角坐标下线性三相LPF方法无法处理PV节点的问题。

1 三相潮流方程及其等效变换

Y型接线方式n节点配电网三相潮流方程为

式中：n为配电网的总节点数；i,j∈{1, 2, ···,n}为节 点 编 号 ；α,β∈{a, b, c}为 三 相标 识；分别为节点i的α相总注入复功率、有功功率、无功功率；分别为节点i处α相的节点电压幅值、相角；分别为节点i处α相与节点j处β相之间的导纳矩阵的实部、虚部；为节点i处α相与节点j处β相的节点电压相角差。

将电压幅值转换为对数形式[13]，可将式（1）等效表示为

2 三相潮流方程的线性近似

2.1 线性近似条件分析

三相配电网潮流分析中，通常假设a相为参考相且参考节点的相对地电压的相角θa=0,θb=–2π/3,θc=2π/3。三相配电网的数学模型一般有如下特点[17]：（1）节点相对地电压幅值趋于1 p.u.；（2）某相的节点电压相角接近于该相平衡节点的相角；（3）线路两端同相的节点电压相角差非常小，趋近于0，线路两端不同相的节点电压相角相对之差值的绝对值趋近2π/3。

但式（3）中等式右侧的指数函数项含有相角差项，部分相角差约等于±2π/3，故不能直接使用式（4）进行线性化处理，因此须对这些项进行单独处理，具体分析如下。

当平衡节点的电压相角取0时，非平衡节点的电压相角均趋近于0，则对三相配电网，非平衡节点a、b、c相的电压相角分别趋近于0、−2π/3、2π/3，由此可对线路两端各相的相角差，定量分析近似表示为：

上述近似仍不能直接应用到式（3）中进行线性化处理，需对b、c相电压相角作归零化处理，即针对节点i，近似有（此处 θ上的横线“—”表示归零化的相角）。至此已完成相角的近似处理，把上述结果代入式（3）中，使用式（4）作线性近似。

2.2 三相线性潮流方程推导

令α=a，以a相为例，根据2.1节的线性近似得到的结果，则可得到a相的复功率为

现定义节点i的a相和节点j三相之间的相角差分别为：并代入式（5）得

最终，可得a相的复功率表达式为

同理，根据2.1节的线性近似方法，推导可得到b相和c相的复功率表达式。

2.3 三相线性潮流方程矩阵表达式

2.2节得到的三相复功率表达式即为三相配电网电压幅值和相角解耦的线性潮流方程。采用更紧凑的矩阵表示为

式中：Pi、Qi分别为节点i三相注入有功、无功功率行向量；分别为以向量Pi、Qi作为对角元素的对角矩阵，其中diag(Qi)；ui为节点i的三相对数电压幅值向量，uj、j分别为节点j的三相对数电压幅值向量、三相修正电压相角向量；E为元素全是1的3维列向量；分别为线路的三相修正导纳矩阵。

式（8）推广到整个网络中的所有节点，并以紧凑矩阵形式表示为

2.4 含PV节点三相不平衡线性潮流计算

令下标字母S、V、N分别对应平衡节点、PV节点、PQ节点对应的相关向量，重新整理式（9）中的有功功率、无功功率、电压幅值和修正电压相角向量中的元素顺序，并表示为其中平衡节点电压幅值uS和修正相角S、PV节点修正有功功率V和电压幅值uV、PQ节点修正有功功率N和无功功率N为已知量；平衡节点修正有功功率S和无功功率S、PV节点的修正相角V和无功功率V、PQ节点的电压幅值uN和修正相角N为待求量。

相应的式（9）等式右边的系数矩阵中的4个参数子矩阵也可以对应平衡节点、PV节点、PQ节点进行整理，每个子矩阵进一步可以细分为3×3分块矩阵。以为例，有其中分别为中对应平衡节点、PV节点和PQ节点的自电导分块矩阵；分别为中平衡节点和PV节点、平衡节点和PQ节点、PV节点和PQ节点、PV节点和平衡节点、PQ节点和平衡节点、PQ节点和PV节点之间的互电导分块矩阵。

对式（9）等式右边的系数矩阵中的4个参数子矩阵进一步分块划分，可得到如下的以矩阵形式表示的潮流线性计算公式，即

式中：X为待求量，系数矩阵J是上述分块矩阵的组合；d为考虑PV节点后修正的注入有功功率和无功功率向量。

3 算例分析

本文采用文献[21]附录中的IEEE33三相不平衡算例进行测试，IEEE33拓扑结构也可参见文献[24]。在收敛精度为10−6情况下，潮流计算基准值采用牛顿拉夫逊迭代法[25]，记作NRTPF。本文所述方法记作LVLPF。

3.1 三相辐射状配电网

断开IEEE33三相不平衡配电网的所有连支，测试本文方法的计算精度。三相电压幅值曲线如图1所示，误差数值如表1所示。

图1 辐射状配电网电压幅值Fig. 1 Voltage magnitude of radial distribution network

表1 辐射状配电网下计算误差绝对值Table 1 The absolute calculation error of the radial distribution network

从图1可以看出，本文方法的电压幅值和精确值高度接近。从表1中的误差绝对值可以看出，幅值和相角的平均误差数量级均在10−4数量级，具有足够的工程精度。本文测试了文献[18]所提方法的精度，幅值、相角平均误差绝对值也均在10–4数量级，但文献[16-18]所使用方法均为节点电压相量倒数的线性近似，不能计算含PV的配电网。

3.2 三相弱环状配电网

闭合IEEE33三相不平衡配电网的所有连支测试本文方法的计算精度。三相电压幅值曲线如图2所示，电压误差绝对值如图3所示。

图2 弱环状配电网电压幅值Fig. 2 Voltage magnitude of the weak-loop network

图3 电压幅值误差绝对值Fig. 3 The absolute error of voltage magnitude

从图2～3可以看出，弱环状的配电网电压幅值比辐射状有所提高，线性近似的误差也有所减小，幅值的最大绝对值误差为10−4数量级。在计算含连支支路的弱环状配电网方面，本文方法无须进行环路的解列和生成回路、道路矩阵等繁琐计算。在保证良好精度的前提下，本文所提方法迭代就能直接计算潮流。

3.3 含PV节点配电网测试

本文在IEEE33三相不平衡配电网的a、b、c三相接入输出有功功率恒定为100 kW的分布式电源，并闭合12—22、25—29的联络开关，形成一个含PV节点三相不平衡弱环状配电网，其电压误差绝对值如图4所示。从图4可以看出，本文方法具有较高的准确度。

图4 含PV节点的电压幅值误差绝对值Fig. 4 The absolute error of voltage magnitude with PV nodes

4 结语

本文对配电网三相潮流方程的电压幅值进行对数变换，根据配电网三相的实际特点，提出了一种基于电压幅值对数变换的三相不平衡线性潮流计算方法。通过算例分析验证了本文在计算配电网辐射状、弱环状、含PV节点3种情况下的有效性。所提方法的平均误差一般在10−4数量级，具有足够的工程实用精度。此外，本文方法在达到与直角坐标系下的线性潮流算法一样精度的同时，克服了其不能计算PV节点的缺点，更能满足实际工程中的要求。