甲型H1N1病毒传播的优化SEIR模型

◇成都师范学院数学学院 杨馨 梁思帆 胡明月 林琼英

传染病是如今世界最严重的疾病之一，建立相应的数学模型具有重要价值。本文以甲型H1N1流感为例，阐述微分方程在传染病传播中如何应用，并对SIEIR模型进行优化。其对甲型H1N1流感防控工作具有一定意义，为避免此类高传染型疾病的再次蔓延提供一些可行的启发。

重大传染病的爆发会严重威胁人们的生命安全和社会经济贸易，造成的危害远高于一般突发公共卫生事件[1]。2009年初，墨西哥和美国广泛爆发甲型H1N1流感，在三个月的时间传播到世界上主要国家[2]，造成数千万人感染，超过数万人的死亡。甲型H1N1流感是一种在人与人之间传播的疾病，通过直接接触或飞沫传播[3]。为避免再次出现此类大型公共卫生危机，对人们的生产生活造成恶劣影响，需要建立甲型H1N1流感传播模型并用以研究其传播趋势。由于不同类型的传染病在传播过程中会呈现不同的特点，其中流感治愈后个体内产生稳定的抗体且此流感具有一定的潜伏期，故而选取SEIR传播模型，并结合甲型H1N1的传播特点进行优化，对疫情防治有一定意义。

传播模式较为复杂的传染病的各个观测对象之间具有较强相关性，因此常规的统计分析方法（如要求各观测对象间相互独立的统计分析方法）并不适用于传染病传播趋势的分析。目前，传染病传播模型主要有SI模型、SIS模型、SIR模型以及SEIR模型。不同的传染性疾病的传播具有不同的特点，相应的传播模型也不同。其中，SI模型将人群分为易感者（Susceptible）和感染者（Infectious），属于Logistic模型，适用于感染后没有方法治愈或者极难治愈的传染病，模型的微分方程组可以计算出解析解。若感染后可被治愈，治愈后仍可被反复感染，如普通感冒和细菌性痢疾此类传染病，则建立SIS模型。SIS模型同样将人群分为了易感者、感染者，但易感者与感染者之前可以互相转换，用微分方程组建立的此模型有解析解。而对于有些传染病，考虑到病人可以康复并且康复后个体体内产生抗体不会被再次感染也不具有传染其他个体的能力的情况，需要在易感者和感染者的基础上再划分一类恢复者（Recovered或Removal）建立SIR模型。SIR模型无法计算解析解，只能给定初始条件计算出数值解。

SIR模型是经典的传染病传播模型，操作性强而且结构简单，便于研究传染病传播整体趋势，因此得到广泛应用[4]。但对于SIR模型的基本假设之一是易感者通过有效接触立即被感染患病，对具有潜伏期的传染病并不适合。考虑潜伏期人群的传染病模型是结构相较于更为复杂的SEIR模型。

1 优化SEIR模型

经过学者研究与统计，人类对于甲型H1N1流感普遍缺乏免疫力易被感染，以人-人形式传播，且甲型H1N1流感病毒具有潜伏期，潜伏期为1至7天[5]。感染后产生抗体，具有一定免疫力（为方便研究，假定免疫力持续）。因此，选择SEIR传播模型对甲型H1N1流感传播趋势进行研究。

1.1 模型建立

在某一封闭地区不考虑出生率和自然死亡率，设定人口总数为常数N。记未被感染且容易被感染的人群为易感者。接触过感染者，但未发病不具有传染其他个体能力正处于潜伏期的人群为潜伏者。被感染发病具有传染能力的人群为感染者。经治愈具有免疫力或者被隔离的人为恢复者。

则感染者群体 按此微分方程变化：

恢复者群体按此微分方程变化：

整理上面（1）（2）（3）（4）微分方程得：

图1

这就是SEIR模型，该微分方程组无解析解，给定初始参数可利用计算机辅助求出数值解。

对于甲型H1N1流感传播，该模型的感染者群体再此封闭区域中是均匀流动的，未能考虑到政府和群众采取的措施（如戴口罩、保持距离、居家等）。该模型假定潜伏期的潜伏者不具备将病毒传染给易感者的能力，而甲型H1N1流感病毒在潜伏后期就具有一定的传染力。该模型未考虑病死人群（有的研究或将病死者归入恢复者[6]，也称为移出者Removal）。基于此，对SEIR模型进行优化。

1.2 模型优化

为便于考虑人们的措施对病毒传播的影响，设平均每个易感者接触传染者人数为，平均每个易感者接触潜伏者人数为。将重设为传染效率（感染者个体接触传播病毒的个体被传染的概率），考虑到潜伏者具有一定的传染力，且潜伏者与感染者的传染效率不同，将另设为感染者的传染效率和潜伏者的传染效率。新增设由感染者病死群体，病死率。

故对（5）进行优化后的模型为：

将（6）整理为迭代式：

1.3 数据模拟

此微分方程模型虽不能求出解析解，但可设置初始值及相关参数对其求出数值解。在优化模型中，设置，初始值。设定参数。利用matlab计算并绘图（图2）。

图2

通过图像可直观看出，任由传染病在人群中传播而不采取应对措施将造成严重的后果。如果采取及时隔离感染者，少去人群密集场所，戴口罩注意防护或者居家，注意公共场所的通风及消毒等措施，可重新设置参数，不变。利用matlab求解并绘制图像（图3），将图3局部放大得图4，这时疫情产生的影响变得很小。因此，在疫情的防控中，及时隔离感染和疑似人群，采用必要防护措施（如带口罩、注意安全距离）以及对公共场所及时通风消毒，能够较好地控制疫情的传播。

图3

图4

1.4 模型优缺点

优点：①考虑潜伏者对易感者具有传染性；②新增因感染传染病死亡的人群（或将死亡者从移出者中分离出来）并纳入分析，疫情造成的危害更一步清晰；③考虑潜伏者与感染者分别在每日平均接触人数以及传染效率上的差异。

缺点：①未进行参数估计及分析参数随时间变化的可能（因为疾病的爆发是动态过程，参数随时间变化而改变[7]）；②未考虑区域之间的流动，即节点间流动。

2 结束语

微分方程在传染病传播中应用广泛，需要注意传染病模型必须根据相应传染病的具体病理机制和传播性质进行建立及修正。本文建立的甲型H1N1流感病毒传染模型分析并解决了处于潜伏状态的人群具有传染性、潜伏者与感染者的传染和流动差异以及死亡人数，但影响传染病传播却未能进行分析的因素仍存在。接下来，将采用更多的模型和算法，使传染病模型对传播趋势的预测更为准确。