基于边界积分方程方法的可穿透非均匀介质反散射中的传输特征值问题*

郑秋燕，刘立汉，陈容

重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331

在声波和电磁波的反散射问题中，传输特征值的性质可以用来估计散射体材料的性质，并且此时的传输特征值问题是椭圆方程特征值问题的标准理论所没有包含的非线性、非自伴随特征值问题。因此，对反散射问题中的传输特征值的研究，引起了国内外许多学者的兴趣和关注，也成为近年来一个非常活跃的研究热点，有关这方面的详细综述见文献［1-6］。目前已经研究了一些关于传输特征值的性质，包括传输特征值的离散性［7-8］、实传输特征值的存在性［7，9］、传输特征值在复平面的位置［10］和传输特征值在多种假设下的一般光谱性［11-12］等。同时，也涌现一些研究传输特征值问题的数学方法，包括变分法［7，13］、边界积分方程方法［1，14-16］和半经典分析［12，17］。尤其文献［18-19］指出，从散射数据中可以确定传输特征值，并根据折射率可以建立传输特征值的单调性，这使得传输特征值问题的性质分析能够作为反散射问题研究的关键点。

本文利用边界积分方程方法研究了可穿透非均匀介质反散射中的传输特征值问题。边界积分方程方法首先是由Cossonnière 和Haddar在传输特征值问题中使用，他们是利用格林公式对传输特征函数进行作用，然后推导出一个与传输特征值问题等价的线性边界积分方程组，且线性边界积分方程组是由两个边界积分方程构成，其对应于依赖非线性特征值参数k的二乘二矩阵值算子。而本文则是只有一个线性边界积分方程，也非线性依赖于特征值参数k，很大程度上减少了计算量。

1 可穿透非均匀介质反散射中的传输特征值问题

本文的目的是从传输特征值的表征形式推导积分方程，因此根据方程组（1）～（4），定义Robin-Dirichlet 算子：

其中η＞0；根据格林积分定理可知，Re(k) ＞0，Im(k) ≥0（如果Im(k) ＜0，则可以在阻抗条件中用η＜0代替）。

引理1k是对应于方程组（1）～（4）的传输特征值当且仅当算子

的核是非平凡的。进一步，如果(Rk，1-Rk，n)φ= 0，那么传输特征值函数w，v，即方程组（1）～（4）的非平凡解是方程组（6）～（7）中任意折射率n和特殊折射率n= 1的解。

由式（7）和式（10）可知，

将式（12）代入式（11），可得

因此，Robin-Dirichlet 算子以及方程组（6）～（7）与方程组（1）～（4）是等价的，进而可以利用Robin-Dirichlet算子以及方程组（6）～（7）去考虑传输特征值问题，得证。

其中“低于基本生活水平”和“穷尽其他帮助”两项要件源于对法律规范的解释，并通过政策文件的细化填充了丰富的内容，“值得救助”源于中央与地方政策文件的内容。可见，与公法上其他权利多以法律规范为根基，辅之以适当的政策解释不同，社会救助权从要件解释到要件构造都明显地依赖于政策的作用，而此时的法律规范更像是一幅未完成的画作，填充颜色或是补充空白均需政策予以完成。就此意义上，我国当下的社会救助权具有强烈的政策意味，“法味”不足，呈现出以下特点：

为了用边界积分算子来表示Robin-Dirichlet 算子，引入单层势算子Sk：

其中

于是得到

其中w∈H2(D)，使得w=τ且∂w/∂νA= 0.

2 Robin-Dirichlet算子的相关性质

根据Robin问题：

的唯一性，在k= i和η= i的情况下，引理3同样成立。

通过以上分析，可以用边界积分算子表示Robin-Dirichlet算子，即：

进一步分析Robin-Dirichlet算子关于k，kn的差：

于是，有以下正则性结论。

引理4 线性算子

将式（20）化为

证明 对任意u，v∈H2(D)，有

其中任意u∈H2(D)，存在常数c͂＞0.

进一步得到

因此，得到边界条件

这里令v=uˉ，将式（27）～（30）代入式（25），有

并且有

其中F(u，ui) ∈L2(D)，且