隐喻性表征：助力学生数学思维优化

摘要：隐喻性表征对于优化儿童的数学学习具有重要的实践价值。在小学数学教学中，运用意象图式的隐喻语言、隐喻思维、隐喻网络、隐喻映射，可以培养思维的独创性、灵活性、深刻性、发散性。

关键词：隐喻性表征;思维优化;小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2022）05B-0040-05

隐喻在人们的日常语言和思维中无处不在，直接参与人类的认知过程，是人类生存的基本方式[1]1。隐喻性表征是一种植根于具身经验，立足于学生心理、生理特点及认知发展规律的知识理解与表达方式，通过身体多维感官与客体的交互作用，形成身体特有的图式，把一些抽象的概念和结构运用实物、图像、言语、动作等形象化的方式来表征，将多元、具身的源域图式结构映射到抽象的目标域概念来理解，以促进学生对学习内容的深入理解和多元表达。儿童因为思维发展的阶段性局限，难以理解过于抽象的数学内容，因此，把隐喻性表征引入小学数学教学中，对于优化儿童的数学思维具有重要的实践价值。

一、隐喻语言：强化内部表征，培养思维的独创性

隐喻语言的模糊性和不确定性使其较少受到教育界的关注，成为一个被忽视的教育问题[2]。然而隐喻语言作为一种能够强化内部表征的语言系统在抽象知识的学习中不可或缺。从数学教学实践来看，隐喻语言产生于儿童的“语言贫困”，即在学生初步认识抽象概念时，由于理解隔阂，从现有的词汇环境中难以发现用于表达新概念的恰当词语。这时，作为在日常生活与客观世界互动体验的过程中所获得的基本认知结构，意象图式可以帮助我们用自身隐喻语言来理解复杂概念，进行内部表征。和精确的规范语言不同，隐喻语言是一种建立在学生具身经验之上，以熟悉的概念图式为载体，用自身的话语体系来描述抽象概念的语言，这种语言更加形象化和生活化，更有利于帮助学生理解新概念的意义，并在互动中彰显思维独创性的价值。

教学中发现一些学生对于平面图形的周长与面积的计算经常出错、混淆，究其原因，还是在初学周长与面积时没有建立起清晰的表象。一方面，研究模型或素材在呈现时，“面”和“边”同时进入我们的视野，又都具有“封闭图形”的特点，教学中教师把两个概念并置，让学生对比学习的机会设置较少，导致学生辨析不清“线的封闭”与“面的封闭”的区别，产生错误认知;另一方面，从概念教学过渡到计算教学这一环节转换太快，过于强调计算训练减少了学生思考、体认概念本质特征的过程，导致概念表象建构不丰满。隐喻的认知域中包含有内部表征的意象图式，这种意象图式来源于人们在与外部世界互动中形成的身体经验，并运用于以后类似的场景之中进行隐喻理解和推理，是连接感性与理性的桥梁。根据意向图式的功能，要给学生提供丰富的图形、实物等感性材料，引发具身操作与观察分析，感受二维的面和一维的线的区别，通过路径图式的描述，隐去面的部分，只留下边的抽象，运用动作演示把周长概念界定为由一点出发到另一点做连续不断的运动，产生的运动轨迹即是周长。这样的动作图式能够避免周长受到图形形状、图形面的大小等无关特性影响，而将重点放到一维长度特征。提取学生已有的长度图式知识，用“A是B”这种概念隐喻模式给周长下一个隐喻定义，则“周长是从一点出发，沿着某一路径行驶又回到原点，行驶过的轨迹的长短”。而通过摸一摸等动作感知把面积界定为物体表面或围成图形面的大小。通过路径图式和动作图式分别描述周长与面积。由此发现，隐喻概念不仅是形象的语言描述，还体现了概念的内在逻辑。

这种通过身体经验的认知方式、隐喻语言的内部刻画，实现了对现实世界中的图形与图形关系的抽象，得到了数学的基本概念，亦即史宁中教授所说的从感性具体上升到理性具体的思维过程。在教学实践中，隐喻在概念表征中的可信度是影响隐喻作为一种认知方式的主要阻碍，但以上关于数学概念的隐喻理解却表明，隐喻不仅是停留在语言层面的描述，它已经超出了其基本功能，达到认知功能层面。隐喻语言的内部表征和解读是新的意义不断生成的过程，能实现对数学语言的创造性表达，可有效地提升学生思维的独创性，实现对数学知识本质的深入理解。

二、隐喻思维：凸显相似本质，培养思维的灵活性

隐喻思维是指通过已有的熟悉概念来理解、经历陌生概念时相关的认知活动过程[3]。这种思维是以概念之间已有的相似性或创造出来的相似性为基础的。前一种是利用人们在认知结构中已经建立起来的联系为基础的隐喻，经常用来进行知识梳理、关联，形成结构化;而后一种是将人们原来经验中并不认为存在相似性的两个事物并置在一起，进行比较、推理，从而为探求未知事物提供了新的视角。而在两个概念之间寻找、创造相似性的过程能有效激发学生思维的灵活性。數学隐喻性表征在形成和理解过程中都依赖于隐喻思维，与归纳思维和演绎思维相比，隐喻思维是一种从特殊到特殊的横向思维，是在已有的内部概念域中找到与新概念意义相关联的概念，以基于自身概念意象的隐喻类比来理解新概念的过程。其更贴近学生的认知规律，符合小学生知识迁移学习的特点。而学生已有经验中的知识不一定和新知识同属一个领域，或者关联比较隐蔽，所以运用隐喻思维发挥学生想象力，寻找内在本质的相似性，是一种跨域的概念映射，具有灵活性的特点。

在新知的学习中隐喻思维无时无刻不在被使用。因为新知的学习大部分都不是从零开始，都要激活学生已有知识和具身经验，如果能够充分利用隐喻思维进行隐喻类推，完成新知的建构，并根据知识之间的内在的相似性和整体性进行关联结构化，可以促进学生思维的灵活性，实现高阶思维的发展。如“运算律”教学，加法交换律与乘法交换律、加法结合律与乘法结合律都具有内在的联系，在学生的认知中总是相互影响，彼此关联。我们可以打破教材编排顺序，以算律之间的算理相似性重组教材，以知识之间的内在隐喻逻辑重构教学。当学生以解决计算问题为依托，学习了加法交换律之后，可以引导学生把思维的触角引向减法、乘法、除法中是不是也有这种交换律。这既是联想、类比，也是知识相似性的内在萌发。当学生举例验证否定了减法和除法，聚焦到乘法后，自然而然地把研究加法交换律的方法、策略迁移到乘法交换律的研究上来。在充分举例验证了乘法也存在这样的规律，并根据两者算理的相似性类推出乘法交换律的文字表述后，教师适时提问：为什么减法、除法没有这样的规律，而加法、乘法具有交换律？你能自己试一试想办法解释这样的规律吗？学生们的思维和已有的具身经验被充分调动起来，有的从生活情境出发，举例还原加法和乘法的原生态表征;有的从加法和乘法的抽象模型“加数+加数=和”“乘数×乘数=积”出发，阐释了变与不变的哲学观点;有的运用图式表征，从加法和乘法意义入手去揭示其本质。多形式的隐喻性表征不仅加深了对运算律的深度理解，而且促进了学生隐喻思维的灵活性和推理意识的发展。

对于加法结合律与乘法结合律也可以从算理、算法的内在相似性角度入手，引导学生具身隐喻、多元表征，理解算律的本质意义和存在合理性。其实小学数学教材中很多概念、技能、方法都具有这样的内在相似性，如曲线图形面积与直线图形面积、百分数的意义与分数的意义、代数与算术等，都可以从结构特征与内在规律等知识本质方面创造相似性，进行隐喻思考和表征，在数学原理、概念之间组织起有效的认知结构，感受数学的一致性，使学生形成简化的、本质的、对未来学习更有支持意义、内在逻辑性更强的数学认知结构。从而学会用联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，提升思维的灵活性。

三、隐喻网络：优化具身联结，培养思维的深刻性

在隐喻性表征的视域下，数学是一个隐喻网络结构，由基础隐喻和连接隐喻二者构造而成。基础隐喻是将数学学习中的靶域同数学外的源域相联系从而理解其意义;而连接隐喻中的源域和靶域均初处于数学体系内，它是在数学不同领域间进行关联生成新的意义[4]。数学概念与学生具身经验之间、不同数学概念之间交互、耦合、关联就形成了复杂的数学隐喻网络。这种知识的隐喻结构化打破知识的散点分布，对表层认识进行深度掘进，抓住了事物的本质和规律，体现了思维的深刻性。小学数学知识分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域，四个领域知识的编排在教材体系中呈螺旋式上升。运用基础隐喻可以让学生在适切情境中借助具身经验理解抽象概念和运算法则，感悟数学命题的构建过程，感悟问题的本源和数学表达的意义。运用连接隐喻可以把一类知识在不同阶段的碎片重新组织起来，不断把新旧知识纵向关联结构化，还可以把不同领域的知识横向关联结构化，比如数与形的关联结构化。因此，利用隐喻性表征可以激发学生具身经验，进行前后知识勾连，认知方法迁移，由此及彼，由点及面，逐渐形成隐喻网络系统，实现知识的网状结构化。在知识的相互联系中去理解事物的规律性和一致性，能全面而深刻地思考、把握当下知识的本质，预测知识的未来发展趋势，形成结构化整体认知，从而促进学生的深度学习。

如复习“平面图形的面积”时，教师可课前让学生制作思维导图，提取具身经验，梳理小学学习过的平面图形面积计算公式，反思面积公式推导方法。课中学生展示、交流作品，用画图、学具、语言、动作等不同表征方式表达对长方形、正方形、平行四边形等图形面积计算公式的推导过程的理解，并隐喻发现这些图形面积计算之间的内在关联，加深对图形面积计算公式的理解。教师利用多媒体课件动态演示梯形较短的底慢慢变长，变成了平行四边形;把平行四边形相邻两边推拉，变成了长方形;把长方形的宽拉长，变成了正方形;圆随着切拼份数的增多无限趋近长方形。在这样动态的视觉表征下，学生对平面图形之间关系的模糊认知逐渐清晰，萌发了事物之间都有联系与变化的函数思想。继而教师提问：如果在三角形、长方形、正方形、平行四边形和梯形中间，只用一个面积公式来计算，你们会选择哪一个图形面积公式呢？经过对比思考，一个学生选择了梯形，并给出了解释：如果这些图形的上底边逐渐缩小到0，都可以变成三角形;反过来，上底边如果增大或减小又都能变成梯形，都可以用梯形面积公式（a+b）×h÷2来计算。这样平面图形面积之间的联系与发展变化在学生具身感知和隐喻性表征下越来越清晰，计算公式的一致性与整体性认知得以深化，知识的网状结构慢慢建立，既增进了学生对知识的深入理解与全面把握，又培养了学生思维的深刻性。

四、隐喻映射：依托变式建模，培养思维的发散性

隐喻映射是人们将对熟悉事物的认识映射到陌生事物上，形成源域向目标域的跨越。莱考夫等认为隐喻的心理映射牵涉此事物与彼事物的外在表象与内在特性的关联，是人类进行新的联想并形成新的经验的基本方式，其物质基础源自人本身与外部世界相互作用的经验完型与动觉经验[1]227。小学数学教学中的概念、公式与法则很多都比较抽象，初次感知很难形成一个清晰、准确的印象，更难以用精确的语言进行描述。这时教师可以通过提供变式素材，引导学生观察操作、体验感知，引发隐喻映射，寻找并置素材的联系与不同，发现其本质特征。这一沿着不同方向、不同角度，运用多种方式解决问题的思维就是发散性思维。所以，强化概念的隐喻映射、变式建模可以让学生举一反三、触类旁通，加深对抽象知识的透彻理解，提升学生的发散性思维。

教学苏教版小学数学四年级下册“认识三角形”一课时，三角形概念的建立是一个难点，其规范化、精准化的语言界定对于学生来说比较抽象，这时仅仅使用归纳推理无法让学生顺利概括出三角形的概念。所以可以尝试隐喻映射，依托变式，让学生从多角度逆向思考三角形的本質。学生经历从现实生活中寻找三角形，画一画三角形后，可以初步感知到三角形的特点：有三条线段、三个角、三个顶点。此时为了引导学生掌握三角形的特点，可以呈现这样的反例          ，以明确三角形的三条边必须是三条线段;接着可以让学生用课前提供的吸管、纸条、小棒等做三角形，交流展评时呈现

这样具有三条线段的图形，进一步认识三角形的三条线段需要首尾相接;最后多媒体动态演示三条线段首尾相接围成图形的过程，让学生感受三条线段首尾相接围成的图形是三角形。这样的变式呈现，让学生通过观察模型，与已有的三角形概念认知进行多次隐喻映射，会逐渐修正已有认知：三角形的三条边必须是三条线段，但仅仅是三条线段还不行，还需要依次连接。通过反例激活具身经验，倒逼认知升华，运用动手操作、多媒体线条构形产生视觉冲击，将学生语言难以表述清楚的动态概念形象化。这样多角度、多方面的变式呈现，引发学生的隐喻映射、发散思维，让思维触角从内向外，往不同方向扩展，蕴含三角形本质特征的动态概念会逐渐清晰起来，学生的发散性思维也会得以培养。

综上所述，隐喻性表征为小学数学课堂提供了新的视角。隐喻思维和隐喻语言通过凸显相似性、创造相似性，强化数学知识的内部表征，促进了对知识的具身思考和深入理解;依托变式建模的隐喻映射，优化了多维表征的具身联结，促进了数学隐喻网络的构建，有利于数学知识的隐喻理解和内在结构的系统化。在小学数学课堂教学中灵活运用隐喻性表征，可以重组语言表征形式，更好地优化学生思维品质，促进学生认知能力的发展。

参考文献：

[1]乔治·莱考夫，马克·约翰逊.我们赖以生存的隐喻[M].何文忠，译.杭州：浙江大学出版社，2015.

[2]刘文.隐喻认知下小学数学概念表征研究[D].武汉：华中师范大学，2019：30.

[3]胡壮麟.认知隐喻学[M].北京：北京大学出版社，2004：62.

[4]谢圣英，喻平.数学教育中的隐喻研究[J].数学教育学报，2013，22（2）：7.

本文系江苏省中小学教学研究第十四期立项课题“具身认知视域下小学数学隐喻性表征的实践研究”（2021JY14-L210）研究成果。

收稿日期：2022-01-04

作者简介：邹伟，邳州市建设路小学，高级教师，徐州市青年良师，主要研究方向为小学数学教学。