具有奇异项的分数阶微分方程边值问题

张玲玲，张楠

（太原理工大学 数学学院 山西 太原 030024）

0 引言

非线性分数阶微分方程作为研究动力系统模型和非线性现象的一个强有力工具，能够客观描述具备记忆和遗传性质的过程及现象，近年来受到很多学者的关注。比如：在眼球瞬间运动的神经控制过程中，运动神经控制是整数阶的，而前庭视觉反射效应是分数阶的。通过对该微分方程的研究，能够了解眼球瞬间运动过程中运动神经的控制规律［1］。此外，在生物种群规律分析、传染病机理研究等方面，基于分数阶微分方程模型也得到了相关的结论［2-4］。关于分数阶微分方程解的存在性、唯一性、多重性等问题的研究，近年来有学者做了大量工作，取得了一系列研究成果［5-9］。其中，关于非线性算子理论及相关性质成为研究方程解结构的重要工具之一，并在其理论及应用方面获得了相应的结论［7-9］，这些成果具有重要的理论意义和广泛的应用价值。

随着具有奇异项的微分方程在弹性断裂力学、辐射平衡、热传导等问题中的广泛应用，其解的存在性、唯一性等有关解性质的研究越来越成为该领域中的热点问题，因此学者们对此类问题做了大量研究［10-18］。其中，在文献［13］中作者研究了如下一类奇异分数阶微分方程

此类方程的非线性项更一般且相对复杂，原因在于非线性项在时间、空间变量t=0，1，v=0处奇异，为了获得该方程解的存在唯一性的条件，本文首先研究算子方程A(x，x)=x存在唯一解的条件，其中A是一类具有凹凸性及单调性的非线性算子，由此获得该边值问题存在唯一解的若干充分条件。

本文结构如下：第1部分是预备知识，给出相关定义、性质及引理。在第2部分，研究一类非线性算子方程存在唯一解的条件，并利用此结论研究方程（1）解的存在唯一性。第3部分，作为应用，通过实例做了进一步的阐述。第4部分为结论。

1 预备知识

2 主要结果

3 应用举例

例1 考虑如下奇异分数阶微分方程边值问题

4 结论

本文讨论了一类非线性项在时间变量和空间变量都奇异的Caputo型分数阶微分方程边值问题。由于此类方程的一般性，为了研究该类方程解的存在唯一性，首先研究了一类算子方程A(x，x)=x在P及Ph上存在唯一解的条件，其中A是一类具有凹凸性及单调性的非线性算子。与其他文献相比，定理条件中函数β(t)的选取与存在使得算子A的凹凸性更容易被验证。通过研究的非线性算子的性质及结论来获得该边值问题存在唯一解的若干充分条件。