微网系统一、二阶混合非均匀Kuramoto建模研究

郭 琪，温雪娇，雷 轲，慕 滕，武海燕，赵 越，邢华栋，刘会强

(1.内蒙古电力科学研究院，呼和浩特 010020；2.内蒙古自治区电力系统智能化电网仿真企业重点实验室，呼和浩特 010020；3.呼和浩特供电公司，呼和浩特 010020)

0 引 言

复杂非线性网络的频率同步问题一直是学者们研究的重难点，且用传统微分方程来描述能量函数常常带来巨大的计算量，Kuramoto模型作为研究同步问题的有效方式之一，近年来应用于越来越多领域。Kuramoto模型中各耦合振子的频率同步现象与电力系统暂态稳定现象之间的互通之处，由Filatrella等人于2008年发现并论证，至2012年，Kuramoto模型的同步性和稳定性分析在电力网络中形成完整的理论体系[1-2]。文献[3]以二阶非均匀Kuramoto模型进行了电力系统暂态稳定性分析研究。鉴于微网系统与传统电力系统的相似性，且Kuramoto模型描述电力网络具有不受节点数目影响的优势，该文探索Kuramoto模型对微网系统动力学特征刻画的能力。

通过建立一、二阶混合非均匀Kuramoto模型与微网系统模型的对应关系，展示微网模型中的每一项在Kuramoto模型中具体的体现形式，理论上剖析Kuramoto模型与微网系统模型间存在相似性的原因，仿真搭建微网系统模型和对应的Kuramoto振子模型，比较两模型的相似性，并指出相应Kuramoto模型频率同步与微网模型暂态稳定的一致性。

1 经典Kuramoto模型

日本学者Kuramoto在1975年指出：在一个由有限个性质上几乎相同的极限环振子组成的耦合系统中，无论各个振子之间的相互作用强度多么微弱，系统的总体动力学特性可以由一个简单的相位方程来表示，如式(1)所示(假设每一个振子都与其他振子有耦合关系，且相互耦合的形式完全相同)。

(1)

式中:θi和ωi分别表示第i个振子的相位和自然频率；K为节点之间的耦合强度；N为耦合系统中所含振子的个数。以上就是最原始的Kuramoto模型。

2 微网系统模型与Kuramoto模型等价性研究

在分析现有电力网络Kuramoto模型过程中，发现Kuramoto模型描述电力网络具有不受节点数目影响的优势，是典型的集群适应性建模方法。同时，借用耦合相位振子模型模拟复杂的电力系统网络，即通过耦合相位振子的动力学方程来描述电力网络各节点间的能量变化，可以避免用传统微分方程来描述能量函数所带来的巨大计算量，为以能量作为控制和稳定性分析核心的能量成型非线性控制方法提供了充分的前提条件。微网动态实质是多能源形式能量的转化、传输、消耗的过程，若能以能量的观点研究对其的控制问题，将更符合微网系统运行的本质规律。

微网系统与传统多机电力系统的主要区别在于[4-5]：

1)微网中众多分布式单元与系统间接口大部分为不具有惯性的电力电子装置。由于电力电子装置自身的特性，电网信息无法通过电力电子装置传回分布式能源(distributed energy resources，DER)单元的惯性系统，使得即使带有惯性系统的DER单元，由于电力电子装置的原因，无法跟随电网进行自我调节。

2)分布式单元能源形式多样，种类特性不同，根据其自身特点并结合建模需求，宏观上，我们将其分为具有惯性和不具有惯性两大类。

3)分布式单元输出功率在一定范围内可调可控。其中分布式电源光伏和风电出力主要取决于自然环境，属于不可调机组，分布式电源柴油发电机和储能装置属于可调度机组。能量管理系统需要预测风电、光伏和负荷的出力，并根据预测出力情况、燃料机组油耗等制定可调度机组的调度计划。

参考传统多机电力系统模型并鉴于上述区别，对于微网系统的Kuramoto模型建立见式(2)所示。

(2)

1)PM,i为正表示发电单元，该值为负表示用电单元,当其可正可负表示储能单元。

2)Pi为额定功率调控量，恒定为0表示不可调,不为0表示功率可调。

以上两式间的不同组合，即可涵盖微网中形式、容量及调节特性不同的节点单元。式(2)中的第一式为二阶Kuramoto振子模型结构，式(2)中的第二式为一阶Kuramoto耦合振子模型结构。

在耦合非线性动力学系统中，即使各振子固有运动频率不尽相同，也可以通过振子间相互耦合作用来中合振子间频率差异，使整个系统趋向于频率同步；同理，在微网系统调频中，各DER单元调控输出功率，通过微网节点间的耦合作用(即各节点间功率传输)，使各节点在给定频率处均达到平衡状态。故采用一、二阶混合Kuramoto模型表征微网系统模型具有可行性。

3 微网系统各分布式单元分类及其Kuramoto模型

1) 分布式电源柴油机、微型燃气轮机发电系统双轴结构见式(3)所示。

(3)

由于柴油发电机为产生电能的单元，第一项可以用来表示原动机的机械功率，所以其值为正。又由于柴油发电机作为同步发电机的一种，具有惯性响应特征，其控制系统能够自动响应系统频率变化，参与系统调频，大小可调，所以pi非0。发电机有转子等机械器件，所以此类振子模型为二阶模型。

同为电机型DER单元的双轴结构微型燃气轮机发电系统与发电机组的Kuramoto模型相似。PM,i为发电系统的功率指令值，其中发电系统为产生电能的单元，由于电机有转子等机械器件，所以此类振子模型为二阶模型。

2)风力发电机、光伏发电机见式(4)所示。

(4)

与电机型DER单元不同，风力发电机由于通过电力电子装置与电网相连，无法直接参与调频，不具有惯性响应特征，不能自动响应系统频率变化，参与系统调频，所以此类振子模型为一阶模型。前两项为风机系统的功率指令值，其中风机系统为产生电能单元，PM,i值为正，由于风机的出力依赖于自然环境，大小不可调，所以Pi为0。由于光电系统为产生电能的单元，与风电类似，光电也属于自然资源，其出力同样不依赖于人为控制，大小不可调，故Pi为零。

3)燃料电池发电系统、飞轮储能、超级电容器等效电路、蓄能电池结构见式(5)所示。

(5)

储能单元对电能进行存储或者释放，平衡新能源出力，因此其具有DER单元和负荷单元双重特性。所以式中功率指令值中的PM,i可取正，可取负，当微网系统功率缺额时，储能单元具有DER单元特性，释放能量，PM,i为正；当微网系统功率盈余时，储能单元具有负荷单元特性，吸收能量，PM,i为负。此外，由于储能本身可调，所以Pi不为0。并且除了飞轮储能，大部分的储能装置不带有旋转装置，本身就不具有惯性，而飞轮储能虽带有旋转装置，但是由于电力电子装置的存在，也使其惯性特性表现不足，所以储能单元的Kuramoto模型都是一阶的。

4)PCC开关馈线并网模式见式(6)所示。

(6)

在并网模式中，PCC与大电网相连，当微网系统功率盈余时，PCC节点相当于负荷单元吸收微网系统的有功功率，当微网系统功率缺额时，大电网也可通过PCC开关节点对微网系统的功率进行补充。所以，PCC的Kuramoto模型与储能单元节点相类似。当微网系统功率过剩时，PCC吸收微网系统的有功功率送入大电网，此时第一项为正。当微网系统功率不足时，PCC吸收大电网的功率对微网系统功率进行补充，此时第一项为负。由于PCC与大电网相连，所以视为可调，pi不为0。

5)PCC开关馈线孤岛模式见式(7)所示。

(7)

孤岛模式，相当于短馈线单元。等式右侧为馈线单元的有功功率，通过对传统微网模型的仿真可知，在孤岛模式下，PCC输出功率几乎为0，可忽略不计，故在孤岛模式下，可直接将PCC忽略进行仿真。

4 算例分析

首先在Matlab中搭建微网系统的传统仿真模型，包含如下组件：无限大电源，PCC节点，风机(功率不可调)，柴油机(可调)，储能单元(可调)，馈线及负载。对该网络进行化简得到的网络拓扑结构如图1所示。

图1 微网系统网络拓扑

仿真思路如下：以孤岛运行为例，首先搭建微网系统的传统仿真模型，对网络中原始节点进行编号，并输入初始数据。之后计算微网孤岛稳态时各节点电压功率，并将各功率换算为标幺值。之后以Kuramoto模型表示微网系统各组件，以完成微网系统Kuramoto建模。最后对传统模型与Kuramoto模型频率与功率两方面进行对比，以证明该建模方式对微网系统刻画的可靠性。

用Kuramoto模型描述微网系统不同单元，孤岛模式下将图1化简为两机三节点模型，用二阶Kuramoto模型描述柴油机，一阶Kuramoto模型描述风机和储能系统，计算得Kuramoto模型各项参数，并加入如下非线性分布式控制ui，其表达式见式(8)所示：

(8)

式中:φij是相邻振子i和j的初始相位差。

微网系统在该控制方式的作用下，可达到最终稳定平衡点，文中初始频率设为60 Hz。

为方便计算，微网系统Kuramot模型的参数均采用标幺值，第一列为惯性时间常数，第二列为阻尼系数，第三列为该节点功率的标幺值，第四列为该节点电压的标幺值。其中以柴油发电机的额定功率和额定电压为基值，即有PB=200 kW，EB=380 V。由此得传统微网系统的模型如图2所示。其中微网系统一阶Kuramoto模型如图3所示，二阶Kuramoto模型如图4所示。

图2 微网系统模型

图3 微网系统一阶Kuramoto模型图

图4 微网系统二阶Kuramoto模型图

同理，计算并网时微网系统的Kuramoto模型参数，由于并网时PCC不可忽略，根据PCC的双态模型，对无限大电网及PCC节点建模并化为同一节点，故传统微网模型化为两机四节点模型。

为证明所搭的微网Kuramoto模型能较好表示原微网系统，对微网传统模型与微网Kuramoto模型进行对比。由于Kuramoto模型主要用于描述系统的频率同步现象，故从两模型频率的角度对比得动态相似性，从两模型各节点功率的角度对比得静态相似性。图5为传统微网模型频率图，图6为微网系统Kuramoto模型频率图。

分别对传统微网系统模型和微网孤岛模型的功率进行采集，得到的功率对比图如图7和图8所示。在该建模方式下假设以柴油发电机的额定功率为基值，即P=200 kW。

图5 传统微网模型频率曲线

图6 微网Kuramoto模型频率曲线

图7 微网模型2号节点有功功率图

图7的功率最终稳定于-150 kW，将图8的标幺值-0.75换算为实际值，即可得到二者相等，2号节点的Kuramoto模型从功率角度可以较好地描述微网系统。同理，3号、4号节点的有功功率分别最后稳定于140 kW、10 kW，其功率标幺值依次为0.7、0.05，将该标幺值换算为实际值二者相等，3号、4号节点的Kuramoto模型从功率角度可以较好地描述微网系统。

图8 Kuramoto模型2号节点有功功率图

又有系统总的有功功率平衡，在传统微网模型中有功功率和为0，微网系统的Kuramoto模型中功率标幺值的和亦如此，证明了两模型间的相似性，也即证明了Kuramoto模型在描述微网系统方面的有效性。

5 结 语

1)确定了建立微网系统Kuramoto模型的合理性。以一阶相位耦合振子模型描述微网中无惯性单元，二阶相位耦合振子模型描述微网中有惯性单元，并以相位耦合振子双态模型描述微网开关节点处并、离网状态的独特方法表征微网并网和孤岛两种运行模式。

2)从仿真验证的角度，用Kuramoto模型描述的微网系统可以反映出原微网系统的频率特性，从功率角度也可以反映出其功率稳定值。仿真结果表明了化简前后网络结构是等价的，其动态特性没有被改变。因此用Kuramoto模型描述微网系统是有效且可行的。

3)Kuramoto模型常用于描述耦合非线性系统的同步现象，将其应用于微网，有助于后续对微网系统频率同步问题的研究和分析，且该方式不受节点数的控制，日后将其应用于集群式系统将体现出明显优势，与传统的直接法研究频率相比将更具有普适性。