例析求角双变量不等式问题的办法

郑小瑛

含有双变量的不等式问题，通常要求证明不等式、求参数的取值范围.显然此类问题具有一定的难度，且综合性较强.本文以一道题为例，谈一谈求解双变量不等式问题的两个办法. 该目标不等式中含有两个变量a、b，且式子较为复杂.解答该题，关键在于对两个变量进行适当的处理，可将其中一个变量看作常量，或通过换元，将双变量问题转化为单变量问题来求解.

办法一：将其中一个变量看作常量

对于双变量不等式问题，有时我们可将其中一个变量看作常量，将不等式进行适当的变形，构造出关于另一个变量的函数，再利用函数的性质和图象、导函数的性质来求得最值，从而证明不等式成立.

将变量“b”看作常量，构造函数g（a），通过二次求导判断出函数g（a）的单调性，求得其最值，从而证明结论.将双变量问题中的一个变量看作常量，就能少讨论一个变量，通过讨论与另一个变量相关的方程、函数、不等式，求得问题的答案，这样能有效地降低解题的难度.

办法二：换元

在解答双变量问题时，可引进一个参数，将两个变量用参数表示出来，把不等式变形为关于参数的函数，再利用函数和导函数的性质来解题.通过换元，可将双变量问题转化为单变量问题.

用该解法解答本题需注意两点：一是引进参数t，将双变量问题转化为单变量问题;二是构造函数g（t），并通过二次求导，判断出函数g（t）的单调性.从整体来看，该解法中主要运用了换元法和导数法.

将不等式两边的式子作商后，需要比较商式与1的大小关系.于是通过换元，构造关于t的函数，通过求导研究函数的单调性，进而利用函数的单调性解题.

由上述分析可知，无论运用哪种办法解题，都需要利用函数的单调性，导函数与函数的单调性之间的关系来解题.因此，在解答双变量不等式问题时，同学们要注意将不等式与函数关联起來，这样才能快速解题.

（作者单位：陕西省莲湖教师进修学校）