基于计算机快速求解梁弯曲内力的一体化积分法

金 蓉，李银山，崔春义

（1.大连海事大学 交通运输工程学院，辽宁 大连 116026；2.河北工业大学 机械工程学院，天津 300401）

梁的弯曲内力是材料力学教学的重点和难点内容，是解决梁弯曲强度和弯曲刚度问题的关键。对于静定梁求弯曲内力，通常先求支座约束力，然后用截面法[1-7]求梁的内力；对于超静定梁求弯曲内力通常先选择静定基，采用力法[1-7]求出多余约束力，然后按静定梁求弯曲内力。对于复杂载荷作用的梁采用常规方法，手工运算过程烦琐、速度慢。

李自林等[8]利用初参数方程求解了梁的弯曲问题；王秀华等[9]采用选择静定基与积分法相结合的方法求解了梁的弯曲问题；刘杰民等[10]采用虚悬臂梁法求解了梁的弯曲问题；刘明超等[11]采用拉氏变换法求解了梁的弯曲问题；杨迪熊等[12]采用单位支座位移法求解了超静定梁的弯曲问题；朱伊德[13]用待定系数法求解了梁的弯曲问题。随着计算机的普及，Maple和Matlab等工程计算软件广泛应用于工程力学[6，7，14-18]，提高了解题效率。李银山等[19]将Maple软件与材料力学相结合提出了求解结构弯曲变形的连续分段独立一体化积分法（简称为ICI法）；吴艳艳等[20]采用ICI法求解了超静定梁的弯曲问题；李银山[7]采用ICI法求解了刚架的弯曲问题。

本文克服了截面法和力法等经典解法求解梁在复杂载荷作用下弯曲内力步骤烦琐，解题速度慢的缺点，应用一体化积分法与Maple软件相结合的方法直接快速统一求解了静定梁和超静定梁的弯曲内力问题，求解方法[7，13]更直接、更简单，是独立、自动化求解梁内力的方法。

1 一体化积分法

1.1 一体化积分法求解静定梁的内力

一体化积分法求解静定梁内力的步骤如下：

（1）按连续性将梁分为n段，建立各段弯矩、剪力、载荷集度的微分方程：

（2）将式（1）、式（2）分别积分1次得剪力方程、弯矩方程的通解：

（3）利用力的边界条件建立2n个约束方程

利用计算机求解方程（4），可确定这2n个积分常数。

（4）将积分常数Ci，j（i=1，2，…，n；j=1，2）代入式（3）、式（4）可得静定梁的剪力方程、弯矩方程。

（5）利用计算机绘出静定梁的剪力图、弯矩图，并确定最大剪力、最大弯矩。

1.2 一体化积分法求解超静定梁的内力

一体化积分法求解超静定梁内力的步骤如下：

（1）按连续性将梁分为n段，建立各段弯矩、剪力、载荷集度的微分方程如式（1）、式（2），并积分得剪力方程、弯矩方程如式（3）、式（4）。

（2）建立各段挠度、转角、弯矩的微分方程：

（3）将式（6）、式（7）分别积分1次，得转角方程、挠度方程的通解：

（4）利用力、位移的边界条件建立超静定梁的4n个约束方程：

利用计算机求解方程（10），可确定4n个积分常数。

（5）将4n个积分常数Ci，j（i=1，2，…，n；j=1，2，3，4）代入式（3）、式（4）、式（8）、式（9）可得超静定梁的剪力方程、弯矩方程、转角方程、挠度方程。

（6）利用计算机绘出超静定梁的剪力图、弯矩图，并确定最大剪力、最大弯矩。同时还可绘出超静定梁的转角图、挠度图，并确定最大转角、最大挠度。

2 算例

2.1 求静定梁的内力

算例1如图1所示，其中图1（a）中的简支梁受分布载荷作用，载荷集度，试用一体化积分法建立梁的剪力方程、弯矩方程，画梁的剪力图、弯矩图。

解：该简支梁为静定梁，其弯矩-载荷集度微分方程为：

梁的力边界条件有2个：

应用一体化积分法，解得梁的剪力、弯矩方程：

式中0≤x≤l，梁的剪力图、弯矩图如图1（b）、图1（c）所示。

剪力、弯矩的极值：

算例2外伸梁的载荷和尺寸如图2（a）所示，试用一体化积分法与Maple软件编程建立梁的剪力方程、弯矩方程，画梁的剪力图、弯矩图。

解：该外伸梁为静定梁，将其分为3段，各段弯矩-载荷集度微分方程分别为：

梁的力边界条件有6个：

应用一体化积分法及Maple软件编程计算，解得梁的剪力方程：

梁的弯矩方程：

梁的剪力图、弯矩图如图2（b）、图2（c）所示。

图2 外伸梁

剪力的极值、弯矩的极值：

2.2 求超静定梁的内力

算例3两端固定的梁如图3（a）所示，承受梯形分布载荷作用，载荷集度的最大值为q1，最小值为q2，梁的抗弯刚度EI为常量。试用一体化积分法与Maple软件编程建立梁的剪力方程、弯矩方程，画梁的剪力图、弯矩图。

解：该梁为超静定梁，其挠度-载荷集度微分方程为：

梁的位移边界条件有4个：

按照一体化积分法及Maple软件编程计算，解得梁的剪力、弯矩方程：

式中0≤x≤l。

当q1=2q0、q2=q0时，该梁的剪力图、弯矩图如图3（b）、3（c）所示。

图3 两端固定梁

剪力的极值、弯矩的极值：

算例4如图4（a）所示梁受集中力、集中力偶和分布载荷的作用，已知q0，a，Me=q0a2，梁的抗弯刚度EI为常量。试用一体化积分法与Maple软件编程画出梁的剪力图和弯矩图。

解：该梁为超静定梁，将其分为3段，各段挠度-载荷集度微分方程分别为：

梁的力、位移边界条件有12个：

应用一体化积分法及Maple软件编程计算，得梁的剪力图、弯矩图如图4（b）、图4（c）所示。

图4 复杂载荷作用的超静定梁

剪力、弯矩的极值：

3 结论

本文方法及其算例表明：

（1）一体化积分法是求解梁弯曲内力的通用解析法，不论是静定梁还是超静定梁都可以解决，特别是对求解多段、复杂分布载荷作用下的梁的内力尤其具有优势。

（2）该方法程式化、简洁明了。只需列出梁各段分布载荷函数、控制方程和边界条件，与Maple软件编程相结合，采用计算机积分快速准确求出积分常数。一旦积分常数确定，剪力函数和弯矩函数、剪力图和弯矩图、剪力最大值和弯矩最大值可一并得到，分析计算一气呵成。

（3）一体化积分法是求解梁内力的独立的方法。与传统解法完全不同，解静定问题不列平衡方程，不求约束反力；解超静定问题，不选静定基，不求多余的约束反力，一体化积分法是固体力学边值问题的具体应用。

（4）实现梁内力的可视化，给予使用者直观的学习体验，达到所想即所得。这样既提高学生的学习效率、学习兴趣，又提高学生分析问题、解决问题的能力。将一体化积分法用于工程设计，高效、实用。