基于数学关键能力发展的几何变换图形构造问题解决

林奕杰

摘要：利用几何变换进行图形的构造是一种数学解题模型，能有效促进学生 空间观念、几何直观、推理能力和模型思想等数学关键能力的发展。

关键词：初中生数学关键能力;几何变化;问题解决

罗增儒教授在“解题策略的基本考虑”中介绍了模式识别策略：学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，…当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，…以此为索引，在记忆贮存中提取相应的方法加以解决，这就是模式识别的解题策略[2].因此我们可以认为：解题就是数学模型的构造和应用的过程.通过‘分析组合题中已有的条件原素形成有效的数学模型或添加辅助线元素把题中残缺的数学模型补充完整’，获得‘结构完整的、关系明确的数学模型’达成‘条件用足，模型完整’[3]，从而解决问题。

利用几何变换进行图形的构造是一种数学解题模型，能有效促进学生 空间观念、几何直观、推理能力和模型思想等数学关键能力的发展。在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样有利于发现问题的隐含条件，把隐性条件显性化，使问题得以突破.几何图形的构造一般有以下三种构造方式：①有则组之，即组形;②缺则补之，即补形;③无则变之，即变形.构造的手段往往就是几何变换.初中涉及到的常见几何变换有：旋转、平移、轴对称、位似.本文所选例题题干简约不简单、图形简洁内容丰富，蕴藏着丰富的几何建模思想，本文依托于此题仅从旋转和对称的变换角度进行初步探究。

試题在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α.

（1）如图1，∠BAC=90°，α=45°，试求点D到边AB，AC的距离的比值;

（2）如图2，∠BAC=100°，α=20°，连接AD，BD，求∠CBD的大小.

以上辅助线作法是根据“缺则补之”的构造原则，把两个隐藏的具有旋转关系的三角形显性化，再利用三角形的相关性质，获得未知角和已知角之间的数量关系，达成问题解决。

本文系福建省教育科学“十四五”规划课题（FJJKZX21-339）“基于数学关键能力发展的质疑式初中数学教学实践研究”阶段性成果