基于反步法和分层滑模控制的轮式移动机器人轨迹跟踪

耿志伟，王 爽，杨双义

（郑州工业应用技术学院，郑州 451151）

0 引言

近年来,轮式移动机器人由于其结构简单,易于控制,负重大,运动灵活等特点,被广泛地应用于农业、工业以及服务业等领域,凸显了极其优越的应用前景[1]。针对移动机器人轨迹跟踪控制技术的研究一直是机器人领域的研究热点。轮式移动机器人是一个典型的强耦合、非线性、非完整的约束系统,在实际工作中还会受各种工作环境的影响,这使得其轨迹跟踪控制具有极大的挑战性[2]。

轮式移动机器人的轨迹跟踪是指机器人在某一初始位置,通过控制器的作用使得机器人的运动能够跟踪一条和时间相关的期望轨迹[3]。目前,国内外学者对轮式移动机器人的跟踪控制问题进行了研究,其研究方法包括自适应反步法,自适应滑模控制,神经网络控制,模糊控制等[2～5]。文献[4]基于反步设计方法研究了一类轮式移动机器人的轨迹跟踪问题。文献[5]在反步法的基础上,将自适应控制方法结合,设计了可以补偿不确定参数的自适应控制器。然而对于诸如倒立摆,移动机器人等欠驱动非线性系统,滑模控制作为一种具有完全鲁棒性的变结构控制方法,对这类系统具有较好的控制作用[6,7]。文献[8]利用分层滑模控制把非线性系统解耦成各个子系统,以各个子系统系统渐进稳定为性能指标实现对整个系统的控制,该方法为复杂的高阶系统控制提供了一个良好的解决方案[9]。

基于以上分析,本文结合反步法和分层滑模技术研究了一类轮式移动机器人的轨迹跟踪问题。首先将原系统分解为两个子系统,然后对子系统分别利用反步法和分层滑模技术设计了一个新的控制器。在该控制器下,可以确保闭环系统在Lyapunov意义下是渐进稳定的,从而实现系统跟踪误差的渐进收敛。

1 轮式移动机器人的数学模型

本文考虑了一类在水平面上移动的三轮移动机器人,以移动机器人运动时的正方向为x轴,垂直于机器人移动方向为y轴,坐标系下的结构图如图1所示。图中假定两个驱动轮是相同的,其半径用r表示,后轮轴的长度用L表示。该轮式移动机器人由差动驱动的,所以后轮是主动的,通过两个 后轮的不同速度来控制机器人的速度和转向,机器人的驱动和转向是独立执行的,添加前脚轮只是为了车辆的稳定性。在X-Y坐标系中,该机器人的位姿（位置和方向）由向量q=[x,y,θ]表示,[x,y]表示机器人在运动中的位置；θ为机器人在运动中前进方向与X轴的夹角,即转向角。

图1 X-Y坐标系下轮式移动机器人模型

在不考虑摩擦力、向心力、侧滑等外部扰动因素下,利用如下的欧拉-拉格朗日方程建立描述轮式移动机器人的动力学方程如式(1)所示：

m和J表示机器人的质量和转动惯量,TL，TR表示与从动轮相关联的左右电机的扭矩。

轮式机器人在移动过程中不考虑侧滑和后滑时,即轮式移动机器人的运动方程始终垂直于车轴,其机器人受如下的非完整运动学约束：

此外,给定如下的拉格朗日乘数：

根据文献[2]的结果,则上述轮式移动机器人的动力学模型可以进一步表示如式(2)所示：

其中b1=L/(rJ),b2=1(rm),u1=TR-TL和u2=TR+TL表示系统(2)的控制输入。

2 基于反步法和分层滑模法的控制律设计

该轮式移动机器人的数学模型(2)可以分解为两个子系统。第一个子系统只依赖于控制输入u1,第二个子系统依赖于控制输入u2。因此,轮式移动机器人的轨迹跟踪控制器由两个部分组成：1）由反步法来设计控制器u1；2）利用分层滑模技术来产生控制器u2。其具体设计流程如下。

2.1 基于反步法角度跟踪控制律设计

由于控制器的设计目标是确保在X-Y坐标系上实现轨迹跟踪,定义如下的跟踪误差如式(3)所示：

为了使机器人的转向角θ跟随参考角θr,本文基于反步法,通过构造Lyapunov函数来设计系统的控制律。

定义状态变量：

其中α1表示子系统(4)的虚拟控制输入。

考虑如下的Lyapunov函数如式(5)所示：

对式(5)求关于时间的导数,可得如式(6)所示：

选取如下Lyapunov函数：

对式(8)求关于时间的导数得：

因此,控制律u1可以设计为如式(10)所示：

其中k2＞0是设计的常数。将式(10)代入式(9)化简得：

根据Lyapunov稳定性定理可得,通过设计控制律(10)可以使误差模型(4)渐进稳定,这也意味着转向角θ能渐进收敛于参考角θr。

2.2 基于分层滑模法的位置跟踪控制律设计

分层滑模控制是另一种李雅普诺夫设计方法,主要适用于欠驱动非线性动态系统。这种方法也适用于由多个子系统组成的系统。一个子系统的滑动面定义为第一层滑动面。这个过程一直持续到包括整个子系统的滑动面。其控制律是由李雅普诺夫理论推导出来的。

根据系统(2),我们可以得到第二个子系统如式(12)所示：

定义新的状态变量：

则子系统(12)的状态空间方程可以进一步描述如式(13)所示：

其中：

根据式(3)中定义的位置跟踪误差结合第二个子系统(10),可得误差系统的状态空间方程如式(14)所示：

其中e1=ex,e3=ey。

我们可以将系统(14)进一步考虑为两个子系统,其第一个子系统如式(15)所示：

其中u21作为系统(15)的虚拟控制输入。

定义第一层滑模函数如式(16)所示：

其中c1＞0满足Hurwitz条件。求得S1的导数如式(17)所示：

其中u21=ueq21+usw21,ueq21和usw21分别表示虚拟控制输入u21的等效控制和开关控制,可以设计为：

其中l1＞0和η1＞0是设计的参数,sgn(S1)表示S1的符号函数,通过将等效控制输入ueq21和开关控制数如usw21代入(17),式(17)可以进一步化简为：

定义第二层滑模函数为：

其中c2＞0满足Hurwitz条件。因此求得S2的导数为：

设计如下的虚拟控制输入：

其中l2＞0,η2＞0是设计的参数。根据虚拟控制输入信号式(18)、式(19)、式(23)、式(24),我们可以得到第二个子系统(12)的实际分层滑模控制律如式(25)所示：

为了最大限度减少滑模函数带来的高频颤振,我们把(25)中原来的符号函数用饱和函数替代,其定义如下：

基于反步法和分层滑模控制技术,我们就可以设计出系统(2)的实际控制输入u1,u2,进而实现对参考信号的跟踪控制,具体的算法流程如图2所示。

图2 基于反步法和分层滑模法的系统控制

2.3 闭环系统的稳定性分析

本节将给出基于闭环系统渐近稳定性的证明。

定理1 考虑二阶系统(1),采用由反步法设计的控制律(10)和分层滑模技术设计的控制律(25),则可以设计出系统的实际控制律如式(26)所示：

在该控制律下,闭环系统是渐进稳定的。

证明：考虑如下Lyapunov函数为：

对式(27)求关于时间的导数,结合式(11)和式(22),可得下列不等式：

对于z1,z1≠0,我们有。因此该闭环系统在Lyapunov意义下是渐进稳定的,这意味着系统的跟踪误差可以收敛到任意小的领域,实现系统的跟踪性能。

3 仿真分析

为了验证所提出理论的有效性,本文通过MATLAB仿真进行验证。该轮式移动机器人的模型参数设计为：质量m=1.038kg,惯性力矩J=0.818kg/m2,r=0.025,L=0.075m,b1=2,k2=4,c1=75,c2=75,l2=5,η2=5,α1=120,β1=200。

图3 给出了轮式移动机器人在初始位姿为q0=[0,0,π/30]T时,对正弦参考轨迹的跟踪仿真结果,图4展示了轮式移动机器人跟踪正弦轨迹时位置和转向角的跟踪误差。图5展示了轮式移动机器人在在初始位姿为q0=[1,0,π/2]T时对圆形轨迹的跟踪结果,图6展示了轮式移动机器人跟踪圆形轨迹时位置和转向角的跟踪误差。从仿真结果可以看出,在所提出的控制方法下,轮式移动机器人的实际轨迹较为精确地跟踪了期望轨迹。

图3 在X-Y坐标系中对正弦轨迹的跟踪结果

图4 正弦轨迹的位姿跟踪误差

图5 X-Y坐标系中对圆轨迹的跟踪结果

图6 圆轨迹的位姿跟踪误差

4 结语

本文提出了一类轮式移动机器人的轨迹跟踪控制算法。结合反步法和分层滑模技术设计的控制器,在机器人轨迹跟踪控制问题上显示出其良好的实用能力。通过仿真结果验证了所提出控制策略的有效性。在未来的工作中,我们将在轮式移动机器人模型中进一步考虑自适应控制,事件触发控制等控制方法,丰富其理论研究。