落实过程教育 提升数学模型素养

焦丽英

一、引言

过程教育旨在促进学生全面、和谐发展，关注数学结果形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后反思过程的育人活动。数学模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变换规律，求出结果并讨论结果的意义。人教版《数学》九上第二十二章第3节“实际问题与二次函数”，内容丰富与实际生活联系紧密，非常适合过程教育并提升模型思想。

本节课围绕的教学关键问题——怎样增强学生通过分析实际问题而建立数学模型的能力而开展教学。

二、教学背景分析

本节课的主要内容是从实际背景出发，提出数学问题，并运用函数模型表示数量关系和变化规律，从而解决实际问题。解决这类问题的关键是学生能够将实际问题转化成数学问题，并选取适当的模型（方程、不等式、函数）等来描述变量之间的关系，进而分析问题、解决问题。

在这一过程中，问题串使实际问题抽象为数学问题的过程具体化、条理化，有助于学生体会和形成解决此类问题的思路。

通过本节课的学习，将有助于培养学生将实际问题转化成数学问题的能力，体会模型思想在数学学习中的重要作用。体现了模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径的作用。

1.目标分析

通过以上分析，将本节课的教学目标确定为：通过对实例的探究，经历从现实生活或具体情境中抽象出数学问题的过程，总结出利用二次函数模型解决实际问题的方法，发展数学模型思想的素养。

2.基本思路

本节课设计主要分为三个探究活动

探究1：解析式角度建立模型

首先呈现用彩带围矩形的实际背景，鼓励学生提出数学问题，通过问题串引导学生分析其中的数量关系（矩形面积与一边长的关系）和变化规律（矩形面积随一边长的变化而变化），并根据已有经验和知识确定用函数来表示这种数量关系和变化规律，再利用函数的性质解决问题，进而引导學生归纳利用二次函数模型解决实际问题的方法和步骤。

探究2：图象角度建立模型

秋千是学生熟悉的游戏，激发学生兴趣和探究欲望。秋千绳子自然下垂呈抛物线状，自然的想到建立二次函数模型解决问题。由于先有抛物线，所以要把抛物线放到坐标系中，将已知条件转化为点的坐标，合理地设出所求函数解析式，建立函数模型。多种方式建立坐标系和建立恰当的坐标系为学生留有较开放的思考空间，多种解法间的比较，取其最简，体现数学最优思想。

让学生体会模型的建立不仅可以从数量关系角度分析也可以从图象角度分析，提高分析问题建立模型的能力，积累活动经验。

探究3：巩固方法深化思想

篮球是学生喜欢的体育活动，通过对投篮问题的解决，进一步归纳模型建立的过程和总结模型建立的方法，深化模型建立的意义。

通过对以上三种生活背景的探究，贯穿一个思路就是，让学生感受生活背景，提出与数学有关的问题，并结合以往经验和知识，利用数学方法解决，体会解决此类问题是生活的需要，也是数学学习的需要。各种背景下的问题，让学生尝试解决，在解决的过程中逐渐体会，这些问题的解决都是应用二次函数模型来求解的，认识二次函数的实用价值。 回顾解决问题的过程，总结模型建立的步骤，为后续学习提供经验和方法。

三、教学过程

探究一的教学过程

学校举行趣味运动会，学校邀请了多名家长参加，体育老师准备用总长为 60 m 的彩带围成矩形场地，供家长休息。鼓励学生提出与数学有关的问题，场地面积最大问题逐步转化成二次函数问题。

过程及方法归纳——解决本题的主要过程：（1）根据实际背景发现并提出问题（2）解决问题（3）分析题目中的变量与常量（4）根据几何图形的面积公式建立函数模型（5）结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大（小）值 （6）若图象不含抛物线的顶点，则应根据函数的增减性来确定最值。

探究二的教学过程

小明喜欢荡秋千，他爸爸想在家里给他制作一个秋千，院子里有两棵树，测得两棵树相距2 m，小明身高1米。拴绳子的地方距地面的高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子。

学生感受问题背景，学生提出与数学有关的问题。问题预设：秋千栓2.5米，小明可以自己坐上去;秋千最低点离地面多高等。呈现问题——绳子的最低点距地面的距离

探究三的教学过程

四、本课小结

本节课作为初中阶段模型思想建立的典型内容，来源于学生的实际生活，着眼于学生认知基础，围绕“怎样增强学生通过分析实际问题而建立数学模型的能力”这一教学关键问题，主要采取了以下两个策略：

1.问题引导，自然建模

2.多法择优，成于比较

五、反思提升

经过本节课的教学，并结合学生在模型建立和应用中出现的问题，我对于日常教学进行了一些思考：日常教学中，怎样增强学生通过分析实际问题而建立数学模型的能力？

1.把握知识体系，培养学生通过分析实际问题而建立模型的能力

2.经历知识探究完整过程，培养学生通过分析实际问题而建立模型的能力

3.注重思维总结，培养学生通过分析实际问题而建立模型的能力

总之，作为一名数学教师，我们要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学方法。数学建模问题应表现出建模的全过程，而不仅仅是解决问题;数学建模选用的问题最好有较为宽泛的数学背景，有不同层次，以便于不同水平的学生来参与，并注意问题的开放性和可扩展性;应鼓励学生在问题分析、解决的过程中使用现代信息技术;提倡教师自己动手，因地制宜地收集、编制、改选数学应用或已有的数学建模问题，以便更适合学生使用，并根据学生的实际情况采取适当的教学策略。