非奇异H-矩阵的迭代判定

李 敏, 桑海风, 龚 言, 刘畔畔, 王美娟,2

(1. 北华大学 数学与统计学院, 吉林 吉林 132013; 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

1 引言与预备知识

非奇异H-矩阵在控制论、 电力系统理论、 经济数学以及弹性力学等领域应用广泛. 在数学物理和数值分析的线性方程组迭代求解问题中, 其迭代法收敛的一个条件即为线性方程组的系数矩阵为非奇异H-矩阵. 目前, 人们已提出很多非奇异H-矩阵的判定条件[1-8].α-对角占优矩阵是一类非奇异H-矩阵,α-对角占优矩阵理论是判定非奇异H-矩阵的主要方法.本文讨论广义严格α-对角占优矩阵的充分条件, 从而得到非奇异H-矩阵的判定准则, 数值结果表明, 本文的判定准则有效.

定义1[4]设A=(aij)∈n×n, 若|aii|≥Ri(A),i∈N, 则A称为对角占优矩阵, 记为A∈D0; 若每个不等式都是严格的, 则A称为严格对角占优矩阵, 记为A∈D; 如果存在正对角阵X, 使得AX∈D, 则A称为广义严格对角占优矩阵,A也称为非奇异H-矩阵, 记为A∈D*.

注1若矩阵A满足|aii|>0, ∀i∈N, 则当Ri(A)=0(或Si(A)=0)时, 对任意的d>0, 有|aii|>dRi(A)=0(或|aii|>dSi(A)=0), 故对于指标i总有行(或列)占优.因此本文总假设所涉及的矩阵满足|aii|>0,Ri(A)≠0,Si(A)≠0, ∀i∈N.

定义2[4]设A=(aij)∈n×n, 如果存在α∈[0,1], 使得

|aii|≥αRi(A)+(1-α)Si(A),i∈N,

则A称为α-对角占优矩阵, 记为A∈D0(α); 如果存在α∈[0,1], 使得

|aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A),i∈N,

(1)

则A称为严格α-对角占优矩阵, 记为A∈D(α).

注2当α=1时, 由式(1)知|aii|>Ri(A), ∀i∈N, 即A∈D; 当α=0时, 由式(1)知|aii|>Si(A), ∀i∈N, 即AT∈D.故均有A为非奇异H-矩阵, 因此本文只考虑α∈(0,1)的情形.

定义3[4]设A=(aij)∈n×n, 如果存在一个正对角矩阵X, 使得AX∈D(α), 则A称为广义严格α-对角占优矩阵, 记为A∈D*(α).

引理1[2]设A=(aij)∈n×n, 若存在α∈(0,1], 使得A∈D*(α), 则A∈D*.

注3由定义1～定义3及引理1知,A∈D*(α)⟺A∈D*⟺A是非奇异H-矩阵.

引理2[2]设A=(aij)∈n×n,α∈(0,1], 若A∈D0(α),A不可约且J(A)={i∈N||aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}≠Ø, 则A∈D*.

引理3[2]设A=(aij)∈n×n,α∈(0,1], 若A∈D0(α), 且对满足|aii|=αRi(A)+(1-α)Si(A)的顶点i都有非零元素链air1,ar1r2,…,artj, 使得j∈J(A)={i∈N||aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}≠Ø, 则A∈D*.

2 主要结果

首先定义如下记号: 对于某常数α∈(0,1), 记

N1={i∈N|0<|aii|≤αRi(A)+(1-α)Si(A)},

N2={i∈N||aii|>αRi(A)+(1-α)Si(A)}.

显然N1∩N2=Ø,N1∪N2=N,N11∩N12=Ø,N11∪N12=N1.再记

根据上述定义, 对∀i∈N2有

对∀i∈N2, 由数学归纳法可证

0≤δk+2,i≤δk+1,i≤…≤δ2,i≤δ1,i=ωi<1, 0≤rk+1≤rk≤…≤r2≤r1

对∀i∈N12, 记σ0,i=1,

根据上述定义, 对∀i∈N12, 有

于是可得

对∀i∈N12由数学归纳法可证

0≤τk+1≤τk≤…≤τ2≤τ1<1, 0≤σk+1,i≤σk,i≤…≤σ2,i≤σ1,i<1.

定理1设矩阵A=(aij)∈n×n, 若存在某常数α∈(0,1)和某非负整数k=0,1,2,…, 使得有

(2)

则A∈D*.

证明： ∀i∈N12, 由τk+1定义知

即有

于是

根据μk+1的定义有0≤μk+1≤1, 从而0≤μk+1σk+1,i<1,i∈N12.对∀i∈N11, 由式(2)有

现取充分小的正数ε, 使其同时满足下列不等式:

0≤μk+1σk+1,i+ε<1,i∈N12; 0≤δk+1,i(1+ε)<1,i∈N2;

构成正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn), 其中

令B=AX=(bij), 则对∀i∈N11, 由式(3)有

即有|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N11.

对∀i∈N12, 由集合N12定义以及δk+1,i≤ωi(i∈N2)可知,

即有

(4)

再由μk+1的定义以及σk+1,i<1(i∈N12)有

根据式(4)和式(5), 对∀i∈N12, 有

即|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N12.

对∀i∈N2, 由δk+1,i定义知

因此对∀i∈N2, 有

即|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N2.

综上, 总有

|bii|>αRi(B)+(1-α)Si(B),i=N=N11∪N12∪N2,

即B∈D(α), 从而A∈D*(α), 根据引理1知A∈D*.

定理2设A=(aij)∈n×n为不可约矩阵, 若存在某常数α∈(0,1)和某非负整数k=0,1,2,…, 使得

(6)

且式(6)中至少有一个严格不等式成立, 则A∈D*.

证明： 构造正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn), 其中

(7)

令B=AX=(bij), 对∀i∈N11, 根据式(6)有

于是有

即|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N11.

对∀i∈N12, 由μk+1定义知, 0≤μk+1≤1,σk+1,i<1,i∈N12, 类似定理1中式(5)的证明可得

即{|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)},i∈N12.

对∀i∈N2, 由δk+1,i定义知, 0≤δk+1,i≤rk<1,i∈N12以及0≤μk+1≤1,σk+1,i<1,i∈N12, 可得

因此对∀i∈N2, 有

即|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N2.

综上, 总有

|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B),i∈N=N11∪N12∪N2.

(8)

根据定理条件知不等式(8)至少有一个严格不等式成立, 再由A为不可约矩阵知B也为不可约矩阵, 即B为不可约α-对角占优矩阵, 根据引理2知B∈D*, 从而A∈D*.

定理3设矩阵A=(aij)∈n×n, 若存在某常数α∈(0,1)和某非负整数k=0,1,2,…, 使得

且

并对∀i∈Iα(A), 存在非零元素链air1,ar1r2,…,artj, 使得j∈N-Iα(A)≠Ø, 则A∈D*.

证明： 构造正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn), 其中xi如式(7).令B=AX=(bij), 类似定理2证明过程可知, 矩阵B为具有非零元素链的α-对角占优矩阵, 根据引理3知B∈D*, 从而A∈D*.

3 数值实例

例1设

综上可知, 矩阵A满足定理1的条件, 因此A∈D*.

经计算显然有δk+1,i>0,i∈N2.根据文献[1]中定理1有

(9)

不等式(9)恒成立, 即矩阵A无法满足文献[1]中定理1.综上结果表明, 本文非奇异H-矩阵判定条件适用范围更广泛.