高等数学课程与Mathematica 软件相结合的教学研究＊

周小燕，杨 惠，赵春艳，梁青青

（兰州文理学院传媒工程学院，甘肃 兰州 730000）

高等数学这门课程是所有高等院校中很多专业要学习的一门基础理论课程。尤其是对于理工科学生而言，更是学习后续课程的基础和工具。比如对于学习物理与电子专业的学生而言，如果高等数学课程学不好，则会导致后续开设的专业课程学习起来非常吃力，因此，可以说掌握好高等数学这门课程，就相当学生掌握了学习其他课程的有力工具。然而，在高等数学的教学过程中有着大量复杂的计算和繁琐的公式推导，使得部分学生在上课时感到非常枯燥，从而失去学习的兴趣。同时，部分学生对数学的抽象性感到十分困惑，比如在计算二重或三重积分时，部分同学对于积分的上下限的取值难以理解，从而导致积分计算错误。又比如，学生在计算积分的过程中，通常对于一些要积分的空间是糊里糊涂，从而导致积分结果的错误。另外，传统的教学过程中，主要以逻辑推导和计算为主，上课时显得枯燥，学生上课注意力稍不注意，就会跟不上老师的思路，从而导致学生的学习积极性受挫。因为高等数学的学习具有连贯性，上册内容是下册的基础，如果学生一开始就没有扎实学习的话，那么下册的教学内容学习起来也是非常吃力，这样会严重影响学生学习的积极性。

Mathematica 软件是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于领先地位，它也是使用最广泛的数学软件之一[1]。自从1988 发布以来，它已经对如何在科技和其他领域运用计算机产生了深刻的影响。它能完成计算器上的任何计算，不仅能做中小学数学，对大学的高等数学题目大部分也是能做，比如对于积分、求导、绘图等，该软件都是可以实现。随着计算机的普及以及生活条件的改善,当代大学生中已有较多学生拥有了个人电脑。这样，如果在个人电脑上安装上Mathematica 软件，就相当于拥有了个人的多功能数学计算实验室。学生课后可通过软件方便地实践课堂上所学的知识，还可以对相似的问题进行总结和归纳[2-3]。这样不仅提高了学生学习的主动性，还能激发学生的兴趣。

1 课堂教学中典型案例分析

1.1 一元函数隐函数求导问题

在学习隐函数求导的过程中，很多同学都不明白隐函数表达式具体的含义，也就是说函数的因变量和自变量之间的函数关系不能明朗地表示出来，因而会导致在计算过程中出现错误，而利用Mathematica 软件可以很容易求出隐函数的导数，这样也便于学生验证学生自己做的正确性，从而提高自信心。

1.2 傅里叶级数展开问题

在实际的问题中，常常会遇到非正弦的周期运动，它们反应了更为复杂的周期运动。如电子技术中常见的周期为T 的矩形波，还有锯齿波、三角波等。把一个周期的非正弦函数展开成正余弦函数的过程即是傅里叶级数的展开。但是，在具体的计算过程中，往往存在计算量大，公式多而导致学生出现计算错误的情况，从而对数学失去了兴趣。但是用Mathematica 软件却能很快的计算出来，并且对学生而言，可以来验证计算结果。比如设f（x）是周期为4 的周期函数，它在[-π，π]上的表达式为f（x）=，将f（x）展开成傅里叶级数。同样的，可以在软件的“工作窗口”中输入相应的程序，就可以求出周期为4 的方波函数的相对应的傅里叶级数展开形式，具体结果如下：

同时，为了能更加清楚地让同学们理解函数的图形，画出了32 项的傅里叶级数的图形，如图1 所示。

图1 周期方波的傅里叶级数展开

从图1 可以明显看到32 项展开非常接近方波。通过这道例题，学生只需改变相应的参数，就可以得出任意项的展开式。并且能很快得出相应的图形，这样可以使学生更加直观的理解。

1.3 求多变量函数的极限问题

极限的计算是高等数学课程教学中一类非常重要的计算类型，尤其是刚开始学习高等数学的同学，总感觉极限的概念非常难以理解，更不用说求解某个函数表达式的极限了，尤其是二元函数的极限。比如求的极限。直接在Mathematica 软件的“工作窗口”中输入代码，就可以计算得出极限为0。

1.4 二重定积分的计算问题

在讲解积分计算的问题中，最让学生困惑的是确定积分的上下限，积分的上下限如果确定好了，计算就相对容易了，比如求两个底圆半径都等于2的直交圆柱面所围成的立体的体积。在计算的过程中，设这两个圆柱面的方程分别为：

计算这道积分的关键其实就是知道如何确定积分的上下限，及明确积分区域，很多同学的空间想象能力欠缺，很难画出要积分空间，甚至有些题目就根本画不出来，只能通过函数表达式来确定，从而导致在计算过程中积分的计算失误，但是利用Mathematica 软件可画出相应的图形，如图2 所示。

图2 两个互相垂直的圆柱面的立体图

因为两个直角圆柱所围成的公共立体的体积具有对称性，所以只要算出第一卦限的即可，为了显示方便，也可以利用Mathematica 软件画出第一卦限的图形，如图3 所示。

图3 第一卦限两垂直圆柱相交所形成的图形

从图3 中可以很明显地看出所求立体在第一卦限部分可以看成一个曲顶柱体，它的底为：

所以得出了积分表达式为：

2 在教学中利用Mathematica 的优点

2.1 Mathematica 软件强大的作图功能，将抽象数学演变为具体图像

Mathematica 软件是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统和与其他应用程序的高级连接。很多功能在相应领域内处于领先地位，它也是使用最广泛的数学软件之一。虽然目前有很多软件如Excel-Spss等也可以做一些比较简单的图形，但在具体运用中其功能存在局限性，尤其在针对高等数学等比较高层次专业领域的学科研究使用中，要将抽象的数学概念、公式等通过具体图像、图形表现出来，就必须使用如Mathematica 软件，其做出的图形更具体也更形象，实现了从抽象到具体的转变，更有利于开展科学研究。

2.2 数形结合，有助于提高学生的理解能力

高等数学课程中有很大一部分内容是基础的理论知识，比如大量的概念、诸多的定理、还有很多要记忆和能熟练应用的公式等，学生对这些内容的理解程度将直接影响其学习高等数学的效果，同时也间接地影响了后续课程的学习，因为高等数学是工具和基础。然而这些理论知识往往是比较抽象的，学生感到枯燥，从而产生厌烦的情绪。而Mathematica 软件的计算和绘图能力有助于教师将这些枯燥的内容形象化、具体化、生动化。

2.3 Mathematica 软件强大的数值计算能力，辅助教学过程

高等数学课程中一些问题的解决需要学生在课堂上通过比较繁杂的计算来完成，比如在讲解二阶混合偏导的计算时，有时一道例题往往用二三十分钟，对于这种情况教师只能将计算原理、过程、步骤结果一一讲述到黑板上，教学形式死板、枯燥，计算过程严密性、逻辑性非常强，稍有不慎，就会发生错误，从而要求学生也要注意力非常集中，因而学生往往感到难度很大，这样不但浪费大量的教学时间，而且由于学生缺乏学习兴趣，教学效果也大打折扣，并且在课堂中由于教学时间有限，教师在课堂上并不能给学生提供充分的时间来计算练习，这样只能靠学生下来自己做练习，那么就有一部分学生由于计算能力不强或者偷懒等原因不去计算，而该软件具有强大的数值计算能力，可以完成在解决问题中出现的复杂计算，同时学生会被软件所吸引，学习兴趣也会被唤起[4]。

2.4 Mathematica 软件为解决具体问题提供实践条件

高等数学中有时一个问题可能有好几种解决的方法，这些方法中存在着各种联系和区别，每一种方法都有优缺点，那么到底用哪一种方法最简便，回答这些问题最简单的方法是将这些方法都列出来，给学生们一一讲解，但是，在数学的教学过程中，这些计算都将耗费很多的时间，那么借助Mathematica软件强大的计算能力及其超强的绘图能力就可以展示给学生比较多的计算方法，这样有助于拓宽学生的解题思路，开阔学生的知识视野，有助于学生更好地学习高等数学知识，为后续的学习打下更加坚实的基础。

2.5 Mathematica 软件帮助学生建立第二课堂，有助于课后复习和归纳

在个人电脑上安装上Mathematica 软件，就相当于拥有了个人的多功能数学计算实验室和第二课堂[5]。学生课后可通过软件方便地实践课堂上所学的知识，还可以对相似的问题进行总结和归纳，最大程度利用教学资源和软件资源，这样不仅提高了学生学习的主动性，还能激发学生的兴趣。

3 结论

通过用Mathematica 软件对高等数学中的隐函数求导、傅里叶级数的展开、多变量函数的极限、积分的计算及其三维图形的画法等进行了深入的研究，这种研究探索对于教师教学过程以及学生学习过程是非常有益的。通过编程及其作图，把所得结果可以直观呈现给学生，加深学生对知识点的理解，提高课堂效率。Mathematica 软件数值能力强大，可以做出很多的图像，给学生的直观感受，并且可以完成在实际计算中难以完成的计算，在高等数学的教学中应用前景是非常广阔的。