运用点差法解答中点弦问题的步骤

杜海坤

若圆锥曲线与直线相交，与所截得的弦的中点有关的问题称为圆锥曲线中的中点弦问题.其常见的命题形式有：求弦的中点的坐标、求中点弦所在直线的方程、求圆锥曲线的方程.此类问题主要考查圆锥曲线的方程、中点坐标公式、直线的方程、直线的斜率公式. 运用点差法解答圆锥曲线中的中点弦问题的步骤是：

解：设P（x，y），Q（x，y），其中点M（x，y），

将两式相减得

25（y+y）（y-y）+75（x+x）（x-x）=0，

∵x+x=2x=l，y+y=2y，

解答本题主要采用了点差法.先设出P、Q、M的坐标，然后将P、Q的坐标代入椭圆的方程中，再将两式相减;根据中点坐标公式和直线的斜率公式即可建立关于x、y的方程，解方程即可求得点M的坐标.

∵中点为M（4，2），

即x+2y-8=0.

由椭圆的方程、弦的中点的坐标求中点弦所在直

∴a-b=50①，

设弦的端点分别为P（x，y），P（x，y），

∴由中點坐标公式可得x+x=1，y+y=-1，

根据题意可得直线的方程、弦的中点，运用点差法求椭圆的方程.将弦的两个端点的坐标代入椭圆方程中并作差，根据直线的斜率公式和中点坐标公式即可解题.

可见，点差法是求解圆锥曲线中的中点弦问题的有效手段.其解题的思路较为简单，且运算量不大.在解答圆锥曲线中的中点弦问题时，如果能适时地运用点差法，就可以达到“设而不求”的目的.这样不仅可以减少运算量，还能优化解题的过程.