由2022年八省联考第8题引发的研究

李昌成

摘要：近年来，模考和高考中需要用构造法解答的题目频繁出现，构造的难度也越来越大，构造的次数也越来越多，以导数为例，要突破这类题目，应该从导数的公式、常见的函数、指数对数运算公式、函数结构等方面综合施策，方可突破难题.

关键词：构造法;导数;策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0043-03

1 题目呈现

题目（2022年八省联考第8题）设a，b都是正数，e为自然对数的底数，若aea+1+b<blnb，则（）.

A.ab>eB.b>ea+1C.ab<eD.b<ea+1

学生普遍反映本题无从下手，很难建立题设与问题间的关系.根据2021年全国高考乙卷第12题的结构、命题点位、解题方法，考生有大概的思路：构造，再利用单调性作答，但是很难具体实施解题思路.

2 试题解答

解析由aea+1+b<blnb，得

aea+1<blnb-b.①

提取公因式，得aea+1<b（lnb-1）.②

对数运算，得aea+1<blnbe.③

指数运算，得aea·e<blnbe.④

不等式两边同除以e，得

aea<belnbe.⑤

将a换成lnea，得

ealnea<belnbe.⑥

构造函数f（x）=xlnx，得

f（ea）<f（be）.⑦

因为a，b都是正数，

所以ea>1，且blnbe>aea+1>0.⑧

进而lnbe>0=ln1，于是be>1.⑨

易得f（x）=xlnx在（1e，+

SymboleB@

）单调递增.

所以ea<be，故b>ea+1.故选B.

3 解答说明

考生之所以不能顺利完成解答，是因为对于以上每步解答的理由不清楚，或者是某一步不清楚，导致思路受阻.我们有必要把每一步理清，授之以渔.从参数分类的角度，a，b分别在不等式一端，我们执行了①;根据对数运算的需要，向熟悉的函数f（x）=xlnx靠近，我们提取了公因式，得到②;依托N=logaaN将常数1转化为我们需要的对数lne，以便执行对数运算③;从函数f（x）=xlnx的结构出发，需要将不等式左边的b转化为be，所以进行了④的指数式改装运算;⑤出现了函数f（x）=xlnx的雏形，需要关注不等式的右端的结构;对于第⑥，必须有f（x）=xlnx的结构引领，熟知对数恒等式N=logaaN，否则无法执行此步;有了前六步的铺垫，⑦便应运而生;⑧⑨是为了应用f（x）=xlnx的单调性解题的准备步骤，弄清两个变量ea，be所属范围，缺了此步，也将难以定夺选项.由此看来，命题专家对本题下了一番功夫，设置了多个构造环节，环环相扣.只有思维缜密的考生才能最终突围，具有很好的区分度，是名副其实的把关题.

本题还有其他构造方法，只是构造更加巧妙，对学生要求能力更高，尤其是等价转化的能力，抽象概括的能力！

另解1设φ（x）=xlnx-x，则

φ′（x）=lnx+1-1=lnx.

由前文知b>e，所以φ′（x）>0.

所以φ（x）=xlnx-x在（e，+

SymboleB@

）上单调递增.

又φ（ea+1）=ea+1lnea+1-ea+1=（a+1）ea+1-ea+1=aea+1，

由aea+1+b<blnb，得aea+1<blnb-b.

所以φ（ea+1）<φ（b）.

所以b>ea+1.

另解2设λ（x）=lnx+x（x>0），

则λ（x）在（0，+

SymboleB@

）上单调递增.

由aea+1+b<blnb，a>0，得

0<aea+1<blnb-b.

取自然对数，得

lnaea+1<ln[blnb-b].

化简，得lna+a+1<ln（lnb-1）+lnb.

移项，得lna+a<ln（lnb-1）+（lnb-1）.

所以λ（a）<λ（lnb-1）.

因此a<lnb-1.

解得b>ea+1.

4 追根溯源

关于构造思想，教材在不同章节均有一些思想渗透，我们要深入领悟.对导数而言，在人教A版选修2-2

的第32页安排了以下经典证明习题：

（1）ex>1+x（x≠0）.

（2）lnx<x<ex.

这两个习题给我们提供了学习构造法的平台，从代数的角度可以分别构造函数f（x）=ex-x-1（x≠0），h（x）=lnx-x（x>0），g（x）=x-ex（x>0），再利用這些函数的单调性证明不等式.

也可以依托函数y=ex，y=1+x，y=x，y=lnx，在同一直角坐标系中，通过图象直观感知不等式的正确性.事实上，基于这两个不等式结构和条件，我们可以构造大量的不等式，例如：

（3）ex≥1+x（（1）式扩大定义域）.

（4）ex-1>x（将（1）中x换成x-1）.

（5）e-x≤1x+1（x>-1）（对（1）式取倒数）.

（6）2lnn<n2（将（2）中x换成n2）.

（7）1n+lnn+ln（n+1）<1n+1（将（2）中x换成1n（n+1），再运算）.

5 常见构造模式

（1）已知f ′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，构造函数h（x）=f（x）g（x）.

（2）已知f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）>0，构造函数h（x）=f（x）g（x）（g（x）≠0）.

（3）已知xf ′（x）-f（x）>0，构造函数h（x）=f（x）x（x≠0）.

（4）已知xf ′（x）-2f（x）>0，构造函数h（x）=f（x）x2（x≠0）.

（5）已知xf ′（x）-nf（x）>0，构造函数h（x）=f（x）xn（x≠0）.

（6）已知f ′（x）-f（x）>0，构造函数h（x）=f（x）ex.

（7）已知f ′（x）+f（x）>0，构造函数h（x）=

exf（x）.

（8）已知xf ′（x）+f（x）>0，構造函数h（x）=xf（x）.

（9）已知xf ′（x）+nf（x）>0，构造函数h（x）=xnf（x）.

显然，以上条件不等式中不等号变为小于号，不影响函数构造.

6 高考链接

例1（2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（乙卷）第12题）已知a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，则 （）.

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<c<aD.c<a<b

解析记f（x）=2ln（1+x），g（x）=ln（1+2x），h（x）=1+4x-1.

于是f（0）=0，g（0）=0，h（0）=0，f（0.01）=a，g（0.01）=b，h（0.01）=c.

分别求导，得

f ′（x）=21+x，g′（x）=21+2x，h′（x）=21+4x.

当0<x<1时，1+2x>1+4x>1+x，

所以g′（x）<h′（x）<f ′（x）.

结合导数的几何意义，得b<c<a.

故选B.

例2（2015年全国高考Ⅱ卷理科第12题）设函数f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（）.

A.（-

SymboleB@

，-1）∪（0，1）B.（-1，0）∪（1，+

SymboleB@

）

C.（-

SymboleB@

，-1）∪（-1，0）D.（0，1）∪（1，+

SymboleB@

）

解析记函数g（x）=f（x）x

，则

g′（x）=xf ′（x）-f（x）x2.

因为当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，

故当x>0时，g′（x）<0.

所以g（x）在（0，+∞）单调递减.

又因为函数f（x）（x∈R）是奇函数，

故函数g（x）是偶函数.

所以g（x）在（-∞，0）上单调递减.

又g（-1）=g（1）=0，

当0<x<1时，g（x）>0，则f（x）>0;

当x<-1时，g（x）<0，则f（x）>0.

综上所述，使得f（x）>0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）.

故选A.

参考文献：

[1]

刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 任志鸿.十年高考[M].海口：知识出版社，2022.

[3] 任志鸿.十年高考[M].海口：南方出版社，2016.

[责任编辑：李璟]