“二次函数的最值问题”课堂实录与评析

徐巧惠

【摘要】二次函数的最值问题是近年数学中考的常考点，是中学数学的重要内容之一，也是学好中学数学必须攻克的较为抽象的难点之一。题型灵活多变，其中求二次函数在闭区间上的最值是二次函数最值问题的典型代表，包括不含参数和含参数的最值问题、最值逆向性问题以及可转化为二次函数在闭区间上最值的问题。

【关键词】二次函数  最值  数形结合

【中图分类号】G633.6   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2022）07-0154-03

含有参数的函数最值问题，能很好地考查数形结合思想和分类讨论思想。解决这类问题的关键点是研究函数图像的对称轴与区间的相对位置关系。本人针对二次函数的最值问题设计一堂课，展开问题串，让学生理解含参数的函数最值问题的特征，以引导学生掌握解决此类问题的方法为教学目标。

1.教学设计

1.1教材分析

二次函数是初中数学的重要内容，二次函数最值问题的专题复习，可以对二次函数的概念等知识进一步巩固和深化。含参数的二次函数是进入高中以后学生经常会遇到的，本专题利用函数的图像和性质去研究函数在区间上的最值，可以为高中进一步学习其他函数打下坚实的基础。本专题涉及分类讨论思想、数形结合思想，以便培养学生分析问题、解决问题的能力。

1.2学情分析

学生已掌握了二次函数的图像和性质的相关知识，具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力和数学说理能力，为本节课解决二次函数最值问题奠定了基础。

1.3学法分析

課堂上安排了学生讨论、分组、交流等活动，让学生变被动地接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的认知过程，在互相交流和自主探究中获得发展。课堂上注重学习过程的循序渐进。在问题、图像、应用、拓展的过程中按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获。不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异，引导学生利用函数图像来解决问题。

1.4教学目标

知识与技能：掌握二次函数在区间上最值的求法。

过程与方法：培养学生分类讨论的能力和数形结合思想。

情感、态度与价值观：通过合作学习的形式，培养学生主动学习的意识和敢于创新的个性品质。

1.5教学重难点

教学重点：二次函数在区间上最值的求法。

教学难点：分类讨论思想和数形结合思想在求最值中的应用。

教学重点难点的突破：本节课从复习基础引入，通过教师引导、学生合作探究的方式突破难点。

2.教学过程与环节评析

环节一：基础引入，回顾定轴定区间问题

例1：已知二次函数y=x2-4x+3，判断y有最大值或最小值，并求出这个最值。

教师：这里如何判断y 有最大值或最小值？

学生：看a的取值，当a>0时，抛物线开口向上，图像有最低点，此时y有最小值;当a<0时，抛物线开口向下，图像有最高点，此时y有最大值。这里a=1>0，所以y有最小值。

教师：如何求出这个最小值？

学生：可将这个二次函数化成顶点式为y=（x-2）2-1，由此得到顶点坐标为（2，-1），所以当x=2时，y有最小值为-1。

教师：y有最大值吗？为什么？

学生：没有最大值，因为抛物线无限向上延伸，图像没有最高点，也就是y没有最大值。

教师：若给一个自变量取值范围，比如当0≤x≤3时，y有最大值吗？为什么？

学生：y有最大值，因为抛物线在这个自变量取值范围内的部分是有限的，所以存在最大值。

教师：如何求这时y的最大值。

学生：可画大致图像，找这个自变量取值范围内图像的最高点。

教师：很好，请同学们画出大致图像。（预留时间让学生画出大致图像）

（在上面的这些对话中，学生不一定能顺畅地回答出问题，但应通过问题串尽力引导学生回答）

引导学生画出大致图像，如图1：

教师：如何从图像上看这个自变量取值范围内y的最大值？

学生：找在这个自变量取值范围内图像的最高点，最高点对应的纵坐标就是y的最大值。所以当x=0时，y有最大值为（0-2）2-1=3。

教师：那当0≤x≤3时，y有最小值吗？如何求这时y的最小值？

学生：找在这个自变量取值范围内图像的最低点，因为在这个自变量取值范围内抛物线的顶点为最低点，所以当x=2时，y有最小值为-1。

教师：非常好！这个自变量取值范围包含对称轴，y的最小值依然看顶点的纵坐标。

例2：已知二次函数y=（x-2）2-1，当-1≤x≤1时，求y的最大值和最小值。

（鼓励学生画图帮助解决问题，大致图像如图2）

学生：我们可以先看这个自变量取值范围内图像的最高点，所以当x=-1时，y有最大值为（-1-2）2-1=8;再看这个自变量取值范围内图像的最低点，所以当x=1时，y有最小值为（1-2）2-1=0。

教师：很好！这个自变量取值范围包含对称轴吗？

学生：没有。

例3：已知二次函数y=（x-2）2-1，当2.5≤x≤4时，求y的最大值和最小值。

（学生独立完成后，请一个学生回答）

学生：我们同样可以先看这个自变量取值范围内图像的最高点，所以当x=4时，y有最大值为（4-2）2-1=3;再看这个自变量取值范围内图像的最低点，所以当x=2.5时，y有最小值为（2.5-2）2-1=-0.75。

教师：很好！这个自变量取值范围包含对称轴吗？

学生：没有。

教师：这几个问题中，对称轴和自变量取值范围是确定的，我们称之为“定轴定区间”，区间就是指自变量取值范围，这种类型的题目只需要画出图像就可以解决。

【设计意图】定轴定区间类型是二次函数最值问题的来源，通过三个例题来体现知识的形成过程，突出知识之间的联系，使学生形成良好的认知结构。由于二次函数的连续性特征，抛物线在闭区间图像是有限的，所以存在最值。当函数在闭区间函数范围内，最值可能出现在两个位置：①闭区间的两个端点;②函数的顶点。因此要对二次函数的开口和对称轴进行分析，解决这类问题可以借助函数图像，直观形象，学生容易掌握。这个环节通过思考自变量取值范围是否包含对称轴的过程中，为后面的分类讨论埋下伏笔。

环节二：引入参数，探究定轴动区间问题

变式1：已知二次函数y=（x-2）2-1，当 0≤x≤m时，求y的最小值。

教师：这道题与前面的题目有什么不同呢？

学生：自变量取值范围含有参数。

教师： m是一个不确定的参数，所以此时自变量取值范围是不确定的，如何确定y的最小值？

（给学生充分思考的时间，学生思考并讨论后发言）

学生1：不确定的因素需要分类讨论。

学生2：结合图像，可以分两种情况：如果这个自变量取值范围内包含对称轴，那么y的最小值还是看顶点的纵坐标，也就是若m≥2，当x=2时，y有最小值为-1;如果这个自变量取值范围内不包含对称轴，也就是若0