浅谈转化与化归思想在高中数学教学中的应用研究

王玉玺

（甘肃省古浪县第一中学，甘肃古浪 733100）

数学核心素养背景下，教师在组织和开展课堂教学的过程中不应局限于数学知识、解题技能的传授，还应培养和发展学生的数学思想，将其渗透到课堂教学的每一个环节，真正提升学生的数学综合素养。转化与化归思想是一种非常重要的数学思想，将其融入课堂教学中不仅有助于提高学生的学习效果，还可以促使学生在数学学习中发展自身的数学思维能力以及提出问题、分析问题和解决问题的能力，真正落实数学核心素养下的教学目标。

一、转化与化归思想在高中数学教学中的应用现状和原因分析

（一）应用意识比较弱

从转化与化归思想的内涵来说，主要是运用分析、观察、类比、联想等方式对未知的问题、难以解决的问题进行转化，将其归结到自己已知的知识范围之内，最终对其进行解决。但在现实中，多数学生在解决数学问题的时候常常没有思路或者陷入解决的困惑中，无意识将问题进行转化与化归，难以将其转化为自己熟悉、已经掌握的数学知识和方法；还有一部分学生在解决问题时一味套用数学公式、数学定理等，并未对题目中的已知条件和未知条件存在的关系进行分析，或者缺乏对未知知识进行转化的意识。在这种情况下，严重制约了学生的解题效率，也在很大程度上降低了解题的正确率。

（二）转化与化归类型把握不准

从转化与化归思想的类型上来说，主要包括：将抽象问题转化为具体问题、将复杂问题转化为简单问题、将一般问题转化为具体问题、将实际问题转化为数学问题等。但在调查中发现，学生在遇到新概念、抽象的函数问题时根本无法将其转化为具体的函数知识，并在此基础上进行类比分析；在题目条件比较多的时候难以将其转化为几个小问题；针对讨论情况比较多的问题，无法借助特殊值、特殊点等对其进行估值处理；在遇到数学应用问题的时候无法对其进行建模，难以将其进行转化，使其成为数学知识。

（三）转化与化归的方法掌握不够熟练

从转化与化归的方法上来说，主要有换元法、数形转化法、等价转化法、补集转化法等。针对一些正面求值困难的问题，应从反面进行思考和解答；如果数学题目中出现了不大于、不小于、至少、不存在、至多等关键词，无法从反面进行解答，就可采用补集转化的方式进行；针对三角函数、一般函数性质、零点个数等数学问题，可借助数形转化方式进行解答。但在调查中发现，当前高中学生在数学学习中由于对转化与化归的数学方法掌握不够熟练，致使其在解题的过程中常常面临着不知道采取哪种方法或者乱用转化方法的现象，严重制约了转化与化归方法在高中数学教学中的应用效率。

二、转化与化归思想在高中数学课堂教学中的具体应用

（一）常用的转化与化归思想

1.正反相互转化

在高中数学的转化与化归思想中，正反转化尤为常见。将其应用到数学学习中可降低问题的难度，简化复杂的问题，尤其是在解决一些概率问题的过程中常常涵盖多种可能性，学生如果一一计算将大幅增加计算量，浪费宝贵的学习时间。同时，学生在计算的过程中还会频频出现遗漏的问题，致使解题效率和正确率明显下降。面对这一现状，高中数学教师就可融入正反相互转化的数学思想，引导学生换个角度进行考虑，从其反面找到切入点，就能使得复杂的数学问题简单化，以便于学生更好地解答。

2.特殊到一般的转化

从特殊到一般的转化也是高中数学教学中最为常见的转化与化归思想。当学生在解决比较困难的问题时，教师应指导学生对这个问题进行观察和分析，明确该问题是特殊问题还是简单问题。当发现这个问题中特殊的数量、特殊的数学关系结构时应将其进行推广，使其成为一般情境，最终在“从特殊到一般”的转化中完成数学问题的解决。在高中数学学习中有的问题比较简单，具有一般性，而有的数学问题难度比较大，具有特殊性。基于此，教师必须对特殊的问题进行转化，使其成为一般的问题，才能更好地解决。具体来说，在指导学生运用这一转化思想时，应先将转化对象明确出来，即：特殊元素、一般元素；接着明确转化对象、特殊元素、一般元素，并依据转化对象和特殊元素、一般元素的关系将其进行转化，使其成为新的解决问题；最后得出结论。

3.相等和不等的灵活转化

传统的教学观念认为，相等和不等之间毫无关联，两者之间根本不存在相互转化的可能。但是在数学问题中这一观点被突破了，很多看似不相等的问题可借助转化与化归的思想将其转化为相等的问题。在这种情况下，问题也随之发生转变，解答起来更加简单。具体来说，有些数学题目表面看起来似乎只存在相等的数量关系，但学生凭借这些相等的数量关系很难高效地解决问题。此时，教师可引导学生从题目中挖掘不相等的关系，并随即建立不等式组，借助均值不等式中的不等式关系，结合题目中的已知条件找到解题的突破口。

4.从熟悉到陌生的转化

随着知识储备量的不断增加，学生在学习的过程中接触到的数学知识越来越复杂，综合程度也越来越高。在这种情况下，学生常常会遇到很多复杂的、综合性强的问题。在面对这些问题时，许多学生无从下手，产生畏难情绪，逐渐失去学习的自信心。此时，教师要指导学生借助转化与化归思想认真审题，将自己不熟悉、甚至没有见过的问题转化成为熟悉的、十分典型的数学问题，并在此基础上找到解决问题的切入点。

5.数形转化思想

1.关键变量。表4仅以环境规制为自变量，该变量对农村化学品企业产值有显著正影响，“污染天堂假说”不成立。表5加入其他自变量以后，所有模型中环境规制变量对农村化学品企业产值有显著负影响，较低的环境规制对农村化学品企业来说意味着较低的成本，农村化学品企业倾向于在环境规制较低的地区选址与发展；同时，农村化学品企业发展除了受到环境规制变量的显著负影响以外，还受到农村招商引资优惠政策、工业资本存量以及技术等因素的显著影响，环境规制并不是决定农村化学品企业发展的唯一因素。以上证明中国农村化学品企业发展存在“污染天堂效应”。

高中阶段的数学题目往往非常复杂，导致学生在解决的过程中常常面临难以理解、难以解答的现象。此时，高中数学教师如果能够指导学生利用数形结合思想将复杂、抽象的数学知识转化成为直观形象的知识，就会大幅降低学生的理解难度。可以说在运用数形结合思想的过程中，可借助数量关系讨论并对图形的性质进行研究；也可以借助直观的结合图形将函数、方程之间的变量关系呈现出来；也可以借助结合图形将解决问题的途径表示出来。

6.动静转化

动静转化也是高中数学转化与化归思想中的重要内容。顾名思义，动静转化就是将动态、发展的问题转化为静态的、不变的问题，或者将静态的、不变的数学问题转变为动态性的问题，并在动转静、静转动的过程中灵活解答问题。通常在高中数学教学中，转化与化归思想集中体现在函数题目中。函数的本质、构成逻辑等充分揭示了事物的运行规律，且函数与几何模块、向量知识密切相关。针对某些看似庞杂无序的函数题目，只要借助动静转化的数学思考，就可使得学生精准把握问题的关键，最终轻松解答该题目。

（二）高中数学转化与化归思想培养原则

转化与化归作为重要的数学思想，不是一个单纯的数学公式，也并非一道具体的数学题目，而是蕴含于知识体系中，贯穿于整个教学过程中。因此，为了强化学生的转化与化归思想，应遵循以下四个原则：

原则一：将隐性化为显性。转化与化归思想常依托于具体的数学知识中，与数学知识相互依存，但在教学中并未明确告知学生运用转化与化归思想解决数学问题。因此，教师在具体的教学中应坚持“隐性化为显性”的原则，充分挖掘数学问题中蕴含的转化与化归思想，并将其具体化。

原则二：系统教学。数学知识与化归思想处于一个有机统一体中，唯有将两者结合起来，才能在数学知识教学中渗透数学转化与化归思想，并指导学生利用数学思想解决数学问题。

原则三：学生参与性。高中数学教师在强化学生转化与化归思想时，应明确数学课堂教学活动并非教师的“独角戏”，而是以学生作为课堂主体，通过教师的引导和启发促使学生在主动探究中明确什么是转化、怎样转化，最终在主动探究中强化自身的转化与化归思想。

原则四：螺旋上升性。在培养学生转化与化归思想时，教师无法像数学公式、数学概念一般，一步到位进行教学。它需要一个教学过程，在学生不同的阶段实施不同程度的教学和培养，最终促使学生在“从一般到特殊、从简单到复杂、从直观到抽象”的螺旋上升中培养和发展学生的转化与化归思想。

（三）高中数学课堂教学中转化与化归思想培养策略

1.分析教材，挖掘教材中蕴含的化归思想

转化与化归思想作为一种重要的数学思想，是人类探索数学真理过程中的积累，但数学教材并不是这一过程的真实记录，数学思想才是教材体系的灵魂，支配着整个数学教材，最终使其形成一个完整的联合体。基于此，高中数学教师在培养学生转化与化归思想时应认真分析教材内容，从中挖掘转化与化归思想，并结合不同阶段的数学知识内容有针对性地渗透与其相契合的转化与化归思想。

2.创设课堂提问，强化转化与化归意识

高中数学教师在优化化归和转化思想时还应灵活运用课堂提问，促使学生在数学问题引领下以及在探究数学问题的过程中完成数学知识的主动建构，并逐渐形成数学转化与化归思想。具体来说，高中数学教师在开展课堂教学时可结合教学内容、学生的实际情况科学设计出具有层次性和探究价值的问题串，并将复杂的数学问题进行分解，使其成为若干个小问题；从问题的内容上来说，教师在设计数学问题时应将数学知识、数学思想、数学方法都融入其中，使得学生在综合性的问题思考、分析和解决中实现数学知识、方法和思想的转化，最终强化学生的数学转化与化归思想。

3.一题多解训练，强化转化与化归思想

心理学家在研究中发现，学生的个体不同，其思维方式也存在显著的差异性。具有求异思维的学生，由于其思维、视野比较宽阔，在解决数学问题时常常喜欢将不同的知识和需要解决的问题联系到一起；具备求同思维的学生，由于其视野比较狭窄，在解题的时候常常局限于问题的某一方面上，解题思路常常局限于小范围之内。基于此，高中数学教师在训练学生数学思维、强化其化归与转化思想时，应借助启发式的教学模式以及“一题多解”的训练模式引导学生从不同的角度进行思考、分析和解答，最终在变式类比的过程中真正将所学的知识融会贯通，最终融为一体。同时，在这个过程中学生自身的转化与化归思想意识和能力也随之增强。

4.建立新旧知识体系，搭建知识网络体系

学习是一个过程，是将新旧知识联系和统一起来，在已有的知识结构中纳入新知识。可以说学生在学习新知识之前，要将头脑中已有的旧知识激活，才能在原有认知结构上进行扩大和延伸，最终实现新知识的学习。高中数学是建立在小学、初中数学基础之上的，也是对小学和初中数学知识的扩充和拓展。基于此，高中数学教师在强化数学转化与化归思想时应立足于数学学科的特点将新旧知识整合到一起，帮助学生在学习中形成一个完整的、系统化的知识体系。只有在此基础上，学生才能在完整的数学知识结构体系中进行知识迁移，实现数学知识的各种转化，最终强化自身的数学转化与化归思想和能力。

5.提升学生对转化与化归思想认识

在调查中发现，多数高中生对转化与化归思想认识不够全面、深刻，甚至误认为转化与化归思想就是一种数学题目类型、数学专题。在这种情况下，学生自然无法将其应用到日常学习中。基于此，高中数学教师在培养学生数学转化与化归思想时应明确其是一种数学思想，蕴含于数学基础知识、基本技能的教学中，促使学生在日常学习中对其形成深刻的认识和领悟。而要实现这一目标，高中数学教师在日常教学时可借助一定的教学语言进行提示，还要在教学中透彻分析和理解问题，使得学生在学习中明确其关键，进而在熟悉相似的问题中实现数学知识的成功化归。此外，还应结合数学转化与化归思想的内涵将其贯穿在数学概念、数学定理、数学公式、数学解题中，使得学生在学习中强化自身的转化与化归思想。

三、结语

综上所述，新课程背景下培养和发展学生的转化与化归思想已经成为一线教师关注的重点，是实现数学知识深度学习、促进数学思维发展、提升数学知识应用的关键。基于高中学生数学转化与化归思想和能力薄弱的现状，教师应结合高中数学中常见的转化与化归思想，并借助一定的课堂教学手段不断提升转化与化归思想培养效果，最大限度地满足新课程背景下的教学要求。