关注数学探究“巧合”培养数学核心素养

李婷

《普通高中数学课程标准2017年版）>提出培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大数学学科核心素养的目标，笔者就学生在学习过程中探究发现的一些“巧合”为实例，谈谈如何利用这些“巧合”培养数学核心素养.

案例1 椭圆的三种定义——精彩的统一（数学抽象）

我们在研究椭圆的方程时，常常让学生自己尝试推导椭圆的标准方程，这个过程不单单是一个简单的双根号方程的代数化简，根据数学抽象的几何关注点（两点距离、点线距离、斜率）的不同，可将方程抽象成三种不同的形式：

①②③式分别对应的椭圆的三种定义.代数与几何的完美碰撞，在椭圆的三种定义推导中体现得淋漓尽致.在我们的平时教学中，创设适当的情境，让学生在探究过程中体会数学的“妙不可言”其实是“妙可以言”，根据数学抽象的关注点的不同，用美妙的数学语言续写美丽的数学篇章，

案例2 切线方程与中点弦所在直线方程——巧妙的融合（逻辑推理）

在圆锥曲线的学习过程中，圆锥曲线的切线问题以及圆锥曲线的中点弦问题为两大主要问题，学生在学习的过程中也难免会发现一些巧合，如：

这几个结论的推导可以统一从导数的角度推导，推导过程可以类比，也并不复杂，从形式上看这几个结论的特点更是惊人的“巧合”.我们再来看看几个有关中点弦问题的结论：

这几个结论的推导可以统一用“点差法”或“联立方程组”，推导过程也可以类比，从形式上看这几个结论的特点也是惊人的“巧合”.其实将上述中点弦问题中的点P（xo，Yo）向圆锥曲线上趋近时，以P（xo，Yo）为中点的弦所在的直线就刚好趋近圆锥曲线的切线，此时方程也就变成相应的切线方程了，这个变化过程也是一个完美的“巧合”.

罗素曾说过“数学是符号加逻辑”，可见逻辑推理在数学中的地位，鼓励我们的学生在平时的逻辑推理中，多发现一些规律，多总结一些巧合，让数学知识不再“碎片化”，感受完美的数学体系，促进自身逻辑推理素养的提升.

案例3 独立事件——“不完美”的碰撞（数学建模）

巧合解释通了，但是不能提倡第二种解法，毕竟这有悖于我们平时的生活经验.数学源于生活，最后要服务于生活，脱离了生活经验的数学是空洞的，没有价值的.通过分析这个巧合背后的原因，可以锻炼学生的数学建模的能力.

案例4 反比例函数，对勾函数，双曲线方程——神奇的转变（直观想象）

初中时学习过反比例函数，知道它的图象是双曲线.高中学习圆锥曲线，又学习到了双曲线，学生不禁要问这个双曲线和反比例函数的双曲线是一回事吗？把两个图象拿来对比，确实长得很像，

这些貌似没有什么關联的函数或曲线方程，因为它们的图象相似，大胆地猜想这不仅仅是“巧合”，这里面一定蕴含着某种“必然”.

德摩根曾说“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥”.通过直观想象发现数学和谐之美，大胆猜想与论证，这正是“巧合”带给我们的力量.

案例5 错位相减法与裂项相消法——完美的相遇（数学运算）

归纳完毕，学生对“错位相减”、“裂项”这两大数列求和方法完美的相遇、巧合的碰撞兴奋不己，这不仅是对困扰他们三年的“错位相减法”的一种释怀，也是对数学魅力的一种敬佩.原来数学运算不是缺乏美，而是缺乏一双发现美的眼睛.学生们在平时的运算过程中多加入自己的思考，数学运算就不会再枯燥，它将成为学习数学的左臂右膀.

案例6 超几何分布与二项分布——深厚的渊源（数据分析）

很多学生都有过这样的经历：在刚开始学习超几何分布和二项分布时，有些分辨不清，可是求数学期望的时候结果却是相同的.抓住这个契机，仔细研究这背后的原因，体会二项分布是超几何分布的极限情形，在“巧合”的推动下提高学生数据分析的能力.这种学习的动力是自发的、最有效的.

古往今来，有多少伟大的发明创造皆来自“巧合”及“巧合”背后的灵光一现，这种“巧合”带动起来的好奇心可以驱动我们一步一步向前探索.纵观我们的数学教学，学生在学习过程中也经常会碰撞出思维的“火花”，利用这些契机，鼓励学生继续研究，往往这些“巧合”蕴含着非常丰富的内涵，在感受数学魅力的同时，还能培养数学各方面的素养.让这些探究出来的“巧合”成为开启数学大门的钥匙，让不断提升的数学素养引领学生成为数学的主人.

参考文献

[1]俞永锋，反比例函数，对勾函数是否为双曲线[J].中学数学数学参考，2012（4）：38-39

[2]柏庆昆，圆锥曲线中点弦问题的一般解法[J].中学数学数学参考，2012（8）：39140