大学解析几何教学中的几点体会

向明启 赵迪

【摘要】本文主要基于作者在教授大学解析几何课程中的一些心得体会，对当前大学解析几何课程教学所遇到的问题及思政教育如何融入课程等展开讨论，旨在提出提高学生学习积极性的有效方法.文章首先分析了当前大学解析几何课程所面临的问题，然后从课程思政、教学内容、工程应用等几个方面给出了提高学生学习积极性的方法.

【关键词】解析几何;课程思政;教学改革

一、引 言

解析几何是数学系三门基础课程之一，开设该课程的初衷主要是帮助学生从高中数学到大学数学有个良好的过渡，进一步提高学生的空间想象力、作图能力、辩证思维能力，以及为一些课程（如高等代数等）提供几何直观实例.从作者几年的教学经验来看，目前解析几何这门课的教学时间安排、主要教学内容以及与后续课程的联系等都存在诸多问题.

二、解析几何教学过程中存在的问题

（一）内容复杂，教学难度大

大学解析几何相对于中学几何来说是其知识的一个延伸与扩展.中学时期的几何知识相对来说比较浅显，各种方程以及图形的变化是比较直观的，学生较容易理解和接受，在学习过程中，解决问题所使用的曲面方程和线性方程也都有固定的公式.而大学几何知识的学习更加侧重于逻辑思维能力与空间想象力，其内容是较复杂的，有些内容是穿插重复出现的，并且无法进行筛选，进而加大了教学难度.

（二）学生缺乏学习兴趣，主动学习意识不强

学好一门课程最重要的就是要有兴趣.而如今，不仅仅是中小学，大学的课堂教学也大多采用“灌输式”的教学模式，忽视了以学生为主体的教学理念，以致学生只能被动接受知识，通过机械化地背题、刷题来获取高分，把学习数学中最重要的数学思想给忽略了.在繁重的学习任务中，学生体会不到探索未知领域的神秘和成就感，进而磨尽了好奇心和探索兴趣.对前期基础知识理解与掌握不好的学生较容易在后续课程的学习中失去学习动力，学习的积极性更加不足.

（三）几何抽象，难以理解

不同于中学几何知识的浅显明了，大学解析几何更加抽象，需要学生有一定的知识储备，有较强的逻辑思维能力和空间想象力.又由于受传统的教学模式及教学设备制约，教师在教学过程中未能给予学生充分的空间联想和想象思维方面的指导，使得学生无法构建清晰的抽象思维，也难以构建解析几何的空间架构.

（四）教学时间安排不合理

解析几何这门课很多院校都放在大一第一学期开设，此时学生并没有接触过多元微分学，如偏导数、切平面等，以及矩阵、行列式、线性方程组解的理论等，因此，教师对解析几何中的很多内容无法深入地去讲解，矩阵这一非常有用的工具也无法使用.另外，这门课中的一些主要内容需要适当删减，比如二次曲面的分类与化简，显然这部分只是高等代数中二次型的简单例子.因此，作者认为解析几何作为一门单独的课程，内容过于单一，可以尝试把解析几何与高等代数融为一体，或者在高等代数课讲完矩阵行列式之后再开设解析几何这门课.

（五）学生对解析几何应用背景的了解不够

学生对解析几何应用背景的了解不够，导致其学习积极性不高.实际上，解析几何在建筑、食品等方面都有较多应用.教师可以充分挖掘这方面的素材，让学生了解解析几何应用的广泛性.

鑒于上述问题，作者认为解析几何课程应该主要侧重培养大学生的空间想象能力，并让学生了解解析几何的基本思想及实际应用.

三、新形势下解析几何课程的教学举措

（一） 课程融入思政教育

按照中共中央和国务院颁布的《关于进一步加强和改进大学生思想政治教育的意见》文件精神，教师要恰当地、灵活地把思政教育融入专业课程的教学之中.教师要根据所教课程的特点，自然地将思政教育融于教学之中，这样才能更好地达到教书育人的目的，才能为我国社会主义事业培养合格的接班人.因此，在大学解析几何教学中，教师要有意识地把思政教育工作渗透到自己日常的教学中去，不断提高学生的思想政治水平，为社会主义事业培养合格的接班人.解析几何课程的教师要充分挖掘思政元素，可从数学建模、解析几何发展史、数学家（如费马、笛卡尔等）的故事、辩证唯物主义哲学思想、解析几何在工程中的实际应用等方面入手.

比如，教师可向学生介绍中国古代数学家刘徽的“割圆术”、“东方第一几何学家”苏步青、“微分几何之父”陈省身等，以加强对学生进行爱国主义教育，并激发其学习兴趣.又如，正负阴阳对立，四象八卦轮回，其在几何图形上都有体现，也都体现了辩证的思想.中国传统文化对西方近代科学的创立有重大作用，教师加强对学生的思政教育，可增强学生的文化自信、民族自尊心和自豪感.

（二） 优化教学内容

首先，教师可在教学时补充线性方程组内容、减少向量代数中向量基本概念等的讲解.其次，对教学内容的讲解要注重几何直观性.比如，课程第一章中对很多有关向量方面的初等结果的证明非常烦琐，对于这部分内容，教师应尽量借助几何图形去直观说明.最后，对内容讲解的顺序进行调整.譬如，可以先讲解平面曲线理论，或在第一堂解析几何课让学生了解解析几何的发展历史、关键人物、发展现状及与后续课程的关系等.

例1 解析几何发展历史.

学习一门课程首先要搞清楚这门课程的发展背景、应用及其与后续课程的联系.图1基本概括了解析几何的发展历史.

（三）利用数学软件作图

利用数学软件Matlab作图能有效地帮助学生形成良好的空间想象能力，特别是空间曲面的图像，如单叶双曲面、马鞍面图形的形成原理等，教师可以在课上用PPT动态演示给学生看，以增强学生的直观感受.

例2 用Matlab作出单叶双曲面x2+y24-z29=1的图形.

首先给出其参数方程

x=sec ucos v，

y=2sec usin v，

z=3tan u，

然后利用Matlab中的ezmesh函数给出其图形.

特别地，Matlab还可以画出平面截单叶双曲面及旋转单叶双曲面生成的图形，这有助于学生理解数形结合、动静结合的思想，同时，加深学生对截痕法的理解.

课后教师可留一些练习，让学生用Matlab作图，以提升学生的空间想象能力、实践能力及学习的积极性.

（四）介绍解析几何的应用

无论是信息与计算科学专业或统计学专业的学生，还是飞行器动力工程、空中交通管理、计算机科学与技术等专业的学生，经常会问一句话：“我们学习解析几何有哪些应用？”针对自己所授课班级的专业特点，如果任课老师能或简单或深入地提及相关应用，对学生来说则既开阔了视野，也知道了学往何处用.这对提升学生和任课教师的工程应用能力有很大的帮助，也符合学校对人才培养的要求.

教师向学生介绍解析几何在工程技术中的应用，如渐开线齿轮的齿廓曲线、火力发电站的供水塔、广州电视塔、测绘学中的等高线地形图等，可激发学生的学习积极性，提高其创新思维能力.同时，教师向学生介绍生活中的实际物体有助于优化课堂氛围，如“鸟巢”顶层采用马鞍形层盖设计自然美观，且马鞍面是直纹面，其抗剪能力强，马鞍型薯片的构造也是基于此.

例3 马鞍形薯片.

在讲双曲抛物面之前，为了吸引学生的注意力，活跃课堂气氛，教师可以讲有关薯片的问题，在讲解完双曲抛物面方程及图形特征之后，与马鞍形薯片、与马鞍面的图形进行对比.

图3分别为马鞍形薯片与马鞍面x2a2-y2b2=±2z.

例4 解析几何在曲面造型技术中的应用.

近些年，由于计算机图形学和计算机辅助设计的不断发展，曲面造型技术已被航空航天、媒体、医疗服务及工业化产品设计等领域广泛采用.曲面造型是作图软件CAD的重要组成部分和研究内容.曲面造型的研究目标主要是计算机系统中曲面的设计、分析及显示等.曲面造型技术的灵感常来源于船舶、飞机等物体的外形工艺.在20世纪60年代，Coons，Bezier等人为其奠定了理论基础.近些年，曲面造型理论及其应用是计算机图形学和辅助几何设计领域研究的热点与前沿问题.对物体进行计算机模拟或分析比对实际物体进行测量或处理要容易得多.曲线曲面造型技术是计算机图形学、模拟仿真等领域的基础.空间中立体的几何表示几乎都要用到相关的曲面造型技术，如飞机、船舶等的外观设计，动力性质分析，实物模拟仿真，CT图像重构等，因此，曲面造型理论与技术的发展对相关应用领域的研究是至关重要的.

曲面造型技术主要研究曲面表示、求交、拼接，以及曲面的变形、简化、转换等.特别地，曲面表示作为计算机图形学的重要研究内容，是曲面造型的理论基础和核心问题，也是大学解析几何课程的重要研究内容.

大学解析几何课程中的曲面理论主要研究二次曲面的一般方程、參数方程及化简等，特别是对曲面几何不变量的研究，是曲面理论研究的重要内容之一.曲面方程的显示表示式是z=f（x，y），曲面方程还可以用隐式方程来表示，即F（x，y，z）=0.当函数F是多项式时，该隐式曲面方程也称为代数方程.隐式方程的优点在于：容易判断函数F（x，y，z）与零的关系，即易于判断点是落在所表示曲面上还是曲面的内侧或外侧.曲面隐式方程具有几何运算下的封闭性，特别是隐式曲面方程之间求交、等距操作等几何运算的结果均可表示成隐式形式，这对曲面造型系统的统一设计提供了极大的方便.隐式曲面方程有更多的自由度可以用于曲面控制，同时在构造复杂曲面时可以得到更高的光滑性，也可以得到更多的形状控制方法.

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