计及用户参与不确定性的虚拟电厂分布鲁棒优化模型

刘 鑫，李 扬，史云鹏，沈运帷

（1. 东南大学电气工程学院，江苏南京 210096；2. 上海电力大学电气工程学院，上海 200090）

0 引言

虚拟电厂作为一个管理分布式可再生资源协调运行的载体，可将其视为一个特别的电厂参与系统调控运行［1］。需求响应是虚拟电厂与电网进行友好交互的重要方式之一。虚拟电厂能够针对市场电价信号或激励信号，对分布式电源、储能和需求侧资源等广义负荷进行调控［2］。由于分布式电源具有较强的波动性、间歇性和随机性，且不同用户、不同资源在不同激励水平下的响应行为具有一定的差异［3-4］。虚拟电厂在需求响应的实施过程中面临着巨大的不确定性，这不仅给虚拟电厂的运营管理带来了许多挑战，使虚拟电厂的实时功率平衡变得更加复杂，而且阻碍了需求侧灵活资源在新型电力系统中的应用。因此，需要设计一种可靠的计及用户参与不确定性的需求响应机理模型，并在虚拟电厂优化过程中考虑这种不确定性因素的影响。

目前，有诸多关于需求响应不确定性建模的研究。文献［5］基于消费者心理学原理，建立了用户需求响应功率与分时电价价差之间的映射模型。文献［6］采用弹性系数来定量衡量电力价格变化对用户响应能力的影响。但上述模型均为理想情况下的确定性描述，未能考虑外界环境因素对用户决策行为的影响。为此，文献［7］通过负荷削减能力和响应的不确定性这2 个特征描述需求响应随经济激励及其他因素变化的规律。文献［8］对需求响应消费者心理学模型进行改进，采用参数化的方法刻画用户响应的随机性。文献［9］提出了一种基于参数空间包络域期望的需求响应不确定性建模方法，该方法能够对居民用户响应能力进行量化评估。文献［10］针对居民用户响应特性多样化、差异化的问题，构建了基于长短时记忆网络的精细化需求响应模型。

针对不确定性因素的处理方法一直是能源系统优化领域研究的热点。文献［11］采用随机优化的方法解决现货市场中可再生能源发电和需求响应的不确定性问题。文献［12］针对电动汽车运行状态的不确定性问题，提出了一种两阶段自调度模型。文献［13］提出了基于场景树的多阶段随机优化模型，并证明了该方法相比于两阶段随机优化模型更具有优越性。文献［14］采用鲁棒优化的方法处理风电出力和电力市场电价的不确定性，优化了虚拟电厂的竞标策略。与随机优化和鲁棒优化相比，分布鲁棒优化能够构建随机变量合理的分布模糊集，并寻找最差的概率分布，完美地结合了二者的优点，同时能够解决随机规划方法中数据稀缺性和随机分布难以准确描述的问题，以及鲁棒优化结果过于保守的问题［15］。文献［16-17］中基于Wasserstein 距离构建模糊集的样本外表现特性相比于基于矩信息构建模糊集的方法更优，但是其中灵活资源出力或需求响应的不确定误差均由随机参数直接表示，不能够对造成误差的根本因素进行刻画。由于分布鲁棒优化既能考虑随机参数的不确定性，又能够解决参数分布的不确定性，所以采用分布鲁棒优化与需求响应随机模型相结合的方法既可以对用户需求响应的不确定性进行刻画，又可以对这种不确定性的差异性进行表征。对于用户参与需求响应复杂的响应行为，通过差异化的响应特征参数建立了精细化的用户响应模型，能够对用户的响应意愿进行表征，刻画了不同用户特有的响应特性。并且，基于该模型能够改善模糊集的构建方法，该方法能够充分挖掘数据所表征的统计信息，所构建的模糊集涵盖了各个用户专属的不确定性行为的特征，能够更加科学地解决用户需求响应的不确定性问题。

在上述背景下，本文提出了一种计及用户需求响应不确定性的虚拟电厂分布鲁棒优化模型，以降低需求响应不确定性对系统运行的影响，提高优化结果的可靠性。首先，采用随机参数刻画用户响应行为的差异性，构建了包含用户响应特征参数的精细化需求响应模型；其次，围绕需求响应在经济调度、削峰填谷等多方面的作用，构建了促进多方利益最大化的多目标优化模型；然后，基于Wasserstein距离构建响应模型中随机参数的概率分布模糊集，提出了虚拟电厂两阶段分布鲁棒优化模型；最后，通过算例分析验证了所提需求响应模型及优化方法的有效性。

1 精细化需求响应随机性模型

本文假设虚拟电厂与电力用户的合作模式为非合同制的激励型需求响应，虚拟电厂不会强制干预用户的用电行为，用户可以根据激励信号自主选择是否参与响应及决定响应功率的大小。不同类型负荷由于对电力的需求程度、由电力带来的经济效益存在差异，在同一激励水平下，其参加需求响应的意愿不同。并且，由于管理者自身的用电习惯及对激励的敏感程度不同，即使归属于同一类型的负荷其响应程度也不尽相同。考虑到响应功率与用户的需求响应参与程度线性相关，本文将用户的响应功率与虚拟电厂激励强度之间的关系描述为一个分段函数，如图1 所示。用户的响应功率可以概括为处于需求响应死区、动作区和饱和区3 种情况。当激励强度较小时，用户获得的响应补偿无法弥补其调整自身用电行为的损失，故不参与需求响应；当激励强度超过用户最低的期望补偿r1时，用户参与需求响应的意愿逐渐上升，并且响应功率存在随机波动性，图1 动作区中虚线为用户参与响应的一种情况，实线为响应功率波动范围边界；当激励强度达到动作区的拐点B时，用户的响应能力完全被激发，此后用户的响应功率保持最大值不变。

图1 考虑用户不确定性的需求响应模型Fig.1 Demand response model considering user uncertainty

通过对图1 进行分析不难发现，用户响应的随机性主要体现在动作区的响应功率。参考文献［8］所提方法，采用二次函数对动作区用户的响应功率曲线进行建模，具体如式（1）所示。

式中：PDR为用户的响应功率；ξ、a、b为表征用户响应特性二次函数的参数；r为虚拟电厂的激励强度。假设已经获得A(r1，0)和B(r2，p1)这2 个拐点的坐标参数，将其代入式（1），用户响应功率可以进一步表示为式（2）。

随后对式（2）中表征用户差异化响应特性的参数r1、r2、p1、ξ进行刻画，以建立精细化的需求响应随机性模型。其中r1、r2、p1为确定性参数，可由虚拟电厂中用户的基本信息获得，ξ为不确定性随机参数，将在第2 节中采用分布鲁棒优化的方法进行处理。本文所考虑的虚拟电厂中除了具有可中断、可转移2 种灵活负荷资源和可增长的分布式电源外，虚拟电厂自身备用的储能系统也可以参与需求响应。下面分别介绍各种类型灵活资源的响应特性参数确定方法。

r1为响应死区的阈值，即灵活资源参与需求响应的经济收入和损失相等时的激励强度。灵活资源的需求响应收益EDR可以表示为：

可中断负荷IL（Interruptible Load）、可转移负荷TL（Transferable Load）、可增长资源GR（Growable Resource）的需求响应损失函数如式（4）所示。

r2为响应动作区拐点的横坐标，即灵活资源达到最大响应潜力时的激励强度。通过灵活资源的历史响应数据，取该资源最大响应潜力所对应的激励强度的均值为r2。p1为灵活资源的最大响应潜力，一般可以通过历史响应数据、用户注册数据及调研用户的生产设备参数和生产特性获得。

储能系统的需求响应完全由虚拟电厂自行决定，当需求响应补偿大于储能的充放电损耗时，虚拟电厂调用储能系统参与调控。

2 虚拟电厂多目标分布鲁棒优化模型

本节采用分布鲁棒优化方法处理需求响应模型中的随机参数，基于Wasserstein 距离判断随机变量的某个概率分布是否在一定的经验分布范围内，从而构建尽可能靠近真实概率分布的模糊集。这既考虑了随机变量的不确定性，也能够应对随机变量分布的不确定性，处理了随机变量概率分布难以估计、估计不准确的问题。然后以提高虚拟电厂的经济性、电网友好性和用户舒适性为目的，建立考虑用户参与不确定性的虚拟电厂多目标分布鲁棒优化模型，并给出了相应模型的求解方法。

2.1 优化模型

2.1.1 目标函数

计及用户参与不确定性的虚拟电厂多目标优化调度问题是一个两阶段问题。第一阶段通过构建含虚拟电厂经济性、电网友好性和用户舒适性的虚拟电厂多目标优化调度模型，以充分发挥虚拟电厂在“源-网-荷-储”灵活友好互动方面的作用，促进虚拟电厂经济、高效运行。在用户参与确定性的情况下优化需求响应行为。第二阶段在考虑用户参与不确定性的情况下，以第一阶段决策的需求响应量为基础，并计及系统运行约束条件，确定精细化的需求响应结果。

第一阶段所构建的虚拟电厂多目标优化模型如下。

1）虚拟电厂经济性目标。

2）电网友好性目标。

虚拟电厂可以通过灵活资源的协调运行来提高负荷曲线平滑度，降低系统峰谷差，从而缓解电力紧张，减少新建机组投资。本文采用各个时段负荷与平均负荷之差的均值f2来表征虚拟电厂的电网友好性，具体如下：

式中：NT为一个调度周期内的时段总数；PVPP，mean为计及需求响应后虚拟电厂的平均负荷值。

3）用户舒适性目标。

虚拟电厂在激励用户侧灵活资源进行需求响应的同时，也应该注意维护用户的用能体验，降低用户的不适应度，以促进长久的合作关系。构建最小化用户不适应度的子目标函数f3可以表示为：

式中：f为子目标函数；f′为归一化后的子目标函数；fmax和fmin分别为子目标函数的最大值和最小值；F为多目标优化模型的目标函数；ω1—ω3为权重系数，且满足ω1+ω2+ω3=1。

虚拟电厂两阶段分布鲁棒优化模型目标函数由两部分组成：一部分是第一阶段虚拟电厂多目标优化模型的目标函数；另一部分是第二阶段用户需求响应行为优化问题在不确定参数最差分布下的期望值，具体如式（14）所示。

式中：sup(·)表示求函数(·)的上确界；E(·)表示求函数(·)的期望；D为不确定随机变量ξ的概率分布；M为随机变量的模糊集，具体构建方法见2.2节；Fu表示在第一阶段给定的需求响应方案下，虚拟电厂多目标优化的目标函数，如式（15）所示。

式中：fu1、fu2和fu3为考虑需求响应不确定场景下对应的子目标函数；f′u1、f′u2和f′u3为归一化后的各子目标函数；C͂OP，t、C͂DR，t和C͂ES，t分别为考虑需求响应不确定场景下的系统运行成本、需求响应收益和储能损耗成本；C͂GAP，t为需求响应误差的平衡成本；λpen，t为电力市场的平衡电价；PGAPt为虚拟电厂需求响应的误差值；P͂VPP，t和P͂VPP，mean分别为考虑需求响应不确定场景下的虚拟电厂在市场中的交易功率和虚拟电厂的平均功率；P͂ILDR，i，t、P͂TL，outDR，i，t、P͂TL，inDR，i，t和P͂GRDR，i，t为第二阶段各个用户的响应功率。

2.1.2 第一阶段约束条件

1）功率平衡约束。

2）灵活资源约束。

3）需求响应约束。

（1）IL需求响应。

（2）TL需求响应。

2.1.3 第二阶段约束条件

2.2 模糊集构建

基于Wasserstein距离的模糊集构建方法能够充分挖掘数据所表征的统计信息，比其他方法更为合理。并且该方法能够适用于离散分布的情况，可方便转化为有限凸规划，易于计算。其定义为概率分布空间中，从一个概率分布D1移动到另外一个概率分布D2的距离范数W，具体如式（57）所示。

式中：α为辅助变量，可以通过二分搜索法求解得到；ξ0为数据样本的平均值。

2.3 求解方法

为了便于表示，将具有“min-max-min”结构的虚拟电厂多目标两阶段分布鲁棒优化模型抽象描述为如下形式：

式中：x为第一阶段问题的决策变量；c为目标函数中决策变量x的系数向量；y为第二阶段的决策变量；d为目标函数中决策变量y的系数向量；A为第一阶段约束条件的系数矩阵；b为第一阶段约束条件的参数向量；Z为第二阶段约束条件的系数矩阵；T(x，ξ)和H(ξ)为第二阶段约束条件的参数向量。式（63）中第一个式子对应式（20）—（51），式（63）中第二个式子对应式（20）—（56）。

由式（62）可知，两阶段分布鲁棒优化模型具有“min-max-min”的结构。根据Slater 条件判断该模型强对偶性成立，因此将目标函数“min-max-min”结构转化为“min-min-max”结构，具体过程如下：

x、y、σ和θs为决策变量，ε表示根据样本计算得到的Wasserstein球的半径，其可以通过式（60）、（61）计算获得。因此该模型为混合整数线性规划问题，可以采用Yalmip 工具箱进行建模，并通过CPLEX 等求解器进行求解。

3 算例分析

本文以某地区的需求响应数据为基础验证所提模型的有效性。所构建的虚拟电厂系统包含5 个IL用户、5个TL 用户、2个GR 分布式电源运营商以及1个自备储能系统。各种灵活资源和储能系统的相关参数、电力市场电价、负荷分时电价、灵活资源的功率曲线和最大响应潜力等基础参数见附录A。该方法能够解决层次分析法在评价指标较多时其思维一致性的偏差问题，具有很好的合理性。设分布鲁棒优化的置信水平β为0.9，训练样本数据的数量S为50，球半径ε为1.0574×10-4。由于实际用户响应数据体量较小，故采用正态分布生成随机场景以表征用户响应态度的不确定性，以现有响应数据的平均值为均值，生成500 组满足正态分布的随机场景对虚拟电厂分布鲁棒优化结果的性能进行测试，以所有测试样本实际运行结果的平均值为参考进行分析讨论。

3.1 精细化需求响应模型对优化结果的影响

参考文献［18］，采用模糊层次分析法确定多目标优化的权重系数，ω1—ω3分别取值为0.5、0.25 和0.25。本文基于以下3 种需求响应方案对优化结果进行对比分析：方案1，采用不考虑用户不确定性的需求响应模型；方案2，采用考虑用户不确定性的需求响应模型，但不对用户进行精细化区分；方案3，采用考虑用户不确定性的精细化需求响应模型。

不同需求响应模型下的虚拟电厂优化运行结果如表1 所示。方案1 采用不考虑用户不确定性的情况下需求响应的收益最低，且虚拟电厂优化总目标最大，需求响应在虚拟电厂经济性和电网友好性方面表现最差。通过对比方案2 和方案3 的各项指标不难发现，当对用户的响应特征进行精细化区分时需求响应的整体效果更好，且有利于提升虚拟电厂和用户的经济收益。

表1 不同需求响应模型下的优化结果Table 1 Optimal results under different demand response models

图2 给出了各个方案下不同时段的需求响应误差。整体而言不考虑需求响应不确定性的方案1 误差最大，在大多数时段内采用方案3 对用户响应特性进行精细化区分的响应误差要比不进行区分的情况更小。图3 给出了虚拟电厂响应误差及其与响应总量的占比。可以明显看出方案3 的响应误差最小，总体响应电量最多，且误差占比最低，从方案1的42.10%显著降低到了15.92%。这说明采用精细化的不确定响应模型能够有效降低虚拟电厂的整体误差，对提升潜在资源的利用价值、提高需求响应可靠性具有积极的促进作用。

图2 不同时段需求响应的误差功率Fig.2 Error power of demand response in different time periods

图3 不同方案下需求响应的误差电量Fig.3 Error electric quantity of demand response under different schemes

不同需求响应模型下虚拟电厂与电网功率交换情况如图4所示。

图4 不同需求响应模型下虚拟电厂与电网的功率交换情况Fig.4 Power exchange situation between virtual power plant and grid under different demand response models

由图4 可知，虚拟电厂原始负荷的峰谷特性明显。实施需求响应后，在18:00—20:00 时段内虚拟电厂的峰值负荷有所降低，在02:00—06:00 时段内虚拟电厂的低谷负荷有所增加。这是受需求响应激励的影响，虚拟电厂在负荷高峰时段进行负荷削减和转移，在低谷时段削减可再生能源发电，从而优化电网友好性目标函数。通过对比表1 和图4 可以看出，采用方案3 中精细化的需求响应建模方法能够使虚拟电厂的负荷曲线更加平滑，更好地对虚拟电厂的电网友好性进行优化。

不同类型用户的需求响应优化结果及分析见附录B。

3.2 虚拟电厂多目标优化结果对比分析

本文围绕需求响应多方面作用，在采用考虑用户不确定性的精细化需求响应模型的基础上，通过以下4 种方案对多目标优化问题进行对比分析：方案3，均衡考虑需求响应对虚拟电厂经济性、电网友好性和用户舒适性的影响，采用本文所提多目标优化方案；方案4，重点考虑需求响应对虚拟电厂经济性的影响（ω1—ω3分别取值为0.9、0.05、0.05）；方案5，重点考虑需求响应对电网友好性的影响（ω1—ω3分别取值为0.05、0.9、0.05）；方案6，重点考虑需求响应对用户舒适性的影响（ω1—ω3分别取值为0.05、0.05、0.9）。

不同方案下需求响应及虚拟电厂收益情况如图5 所示，不同方案下虚拟电厂与电网的功率交换情况如图6所示。

图5 不同方案下需求响应及虚拟电厂收益Fig.5 Benefit of demand response and virtual power plant under different schemes

图6 不同方案下虚拟电厂与电网的功率交换情况Fig.6 Power exchange situation between virtual power plant and grid under different schemes

由图5 可知，相比于采用重点考虑虚拟电厂经济性的方案4，方案3中需求响应和虚拟电厂的收益仅降低了2.86%和1.05%，并不会对虚拟电厂的收益造成过多损失。而在方案5和方案6中，虚拟电厂的收益分别下降了5.58%和13.6%，并且方案5和方案6的需求响应收益分别下降了12.96%和75.08%，不利于激发用户参与的积极性。由图6可知，采用方案5 重点考虑电网友好性时，虚拟电厂在用电量低谷时段（05:00—08:00）内的耗电量最高，在高峰时段（18:00—20:00）的耗电量最低，需求响应的削峰填谷效果最优。方案3—6 中子目标fu2的计算结果分别为2.51、2.69、2.42 和2.77。由此说明，在电网友好性方面方案3的需求响应效果与方案5最为接近。

结合图5、6可知，尽管方案3的虚拟电厂经济性较方案4 略差，电网友好性较方案5 略差，但其能够兼顾这两方面作用。方案3 的虚拟电厂收益较方案5提高了11.6%，相比于重点考虑虚拟电厂经济性的方案4，其削峰填谷效果也有所提升。同时，方案6重点考虑用户舒适性导致虚拟电厂几乎不参与需求响应，在经济收益和削峰填谷方面的效果落后于其他方案。不同权重系数方案下虚拟电厂的需求响应情况见附录C 图C1。方案3的整体需求响应电量略低于方案4和方案5，这是由于考虑了对用户舒适性的影响，导致虚拟电厂降低了部分响应能力。在填谷需求响应方面，相比于重点考虑虚拟电厂经济性的方案4，本文所提方案3在负荷低谷时段响应功率提高了567 kW。在削峰需求响应方面，方案4 的响应功率主要集中在补偿价格较高的时段，方案5 的响应功率主要集中在负荷高峰时段，方案3 则在上述2个时段均有涉及。

通过上述分析不难发现，若过度追求需求响应的经济收益，系统的峰谷差难以降低；若想达到较好的削峰填谷效果，则虚拟电厂的经济性有所降低，用户舒适性得不到保障，因此需要在需求响应过程中统筹考虑多方面效果的平衡关系。

3.3 多种不确定性优化方法对比分析

为了验证本文提出的分布鲁棒优化方法的有效性及优越性，分别选取了随机优化方法和鲁棒优化方法对同一问题进行计算作为对比模型。算例中的样本数量为100，测试样本数量为1 000。不同不确定性优化方法的优化结果如表2所示。

表2 不同不确定性优化方法的优化结果Table 2 Optimization results of different uncertainty optimization methods

通过对比不难发现3 种不确定性优化方法中，采用随机优化时，多目标优化预调度解和测试解的目标函数均最小，是3 种优化方法中效果最好的一个，但其在1 000 次测试实验中仅有88.2%能够达到预期目标值，优化方法的可靠性需要进一步提升。鲁棒优化预调度解的目标函数最大，且在测试计算中所有目标函数均小于预调度的目标函数，有些过于保守。分布鲁棒优化的结果介于二者之间，相比于鲁棒优化方法，采用分布鲁棒优化方法时虚拟电厂经济性和电网友好性均有所提升，且总目标函数减小了3%。同时，采用分布鲁棒优化方法测试达标比例达到了95%，相比于随机优化可靠性提高了7.7%。

不同优化方法的需求响应误差如图7所示。

图7 不同优化方法的需求响应误差Fig.7 Demand response error of different optimization methods

由图7可知，3种优化方法中鲁棒优化的响应误差最小，随机优化的响应误差最大，结合表2 中需求响应的收益以及削峰填谷的情况可以看出，这是由于采用鲁棒优化后虚拟电厂预调度解的响应量最小，其误差值也就最小。采用随机优化的预调度解响应的电量最大，但又往往不能满足所有的场景，因此存在较大的误差。采用分布鲁棒优化后，虚拟电厂响应功率的误差在大多数情况下和鲁棒优化保持在同一水平，同时各方的利益又得到了充分优化。

不同样本数量下3 种不确定性处理方法的优化结果见附录C 图C2。可见鲁棒优化方法受样本数量的影响较小，优化结果的达标比例一直保持在100%，优化得到的总目标函数始终保持在0.46 以上，结果过于保守。随机优化方法的目标函数最小，但其达标比例始终低于90%，不确定风险较高。随着样本数量的增加，采用分布鲁棒优化方法下的目标函数逐渐降低，优化效果得到改善，这是由于扩大的样本能够排除随机变量发生概率较低的边缘分布，使不确定变量分布函数逐渐收敛到真实分布。虽然分布鲁棒优化模型的可靠性有所降低，但依然维持在94%以上。当样本数量达到800 时，分布鲁棒优化的目标函数相比于鲁棒优化减小了7.9%，相比于随机优化虽然目标函数增加了1.7%，但可靠性也提高了7%。不同样本数量下随机优化和分布鲁棒优化的计算时间见附录C 图C3，尽管分布鲁棒优化的耗时更高，但仍处于可以接受的范围内。综合考虑优化效果、可靠性和计算时间，分布鲁棒优化在处理不确定性问题时的优越性得以体现。

4 结论

本文主要研究了考虑用户不确定性的虚拟电厂需求响应的优化问题。构建了反映用户响应行为差异化特征的精细化需求响应随机性模型，并采用分布鲁棒优化对模型中的随机参数进行处理。在考虑虚拟电厂经济性、电网友好性以及用户舒适性的基础上，构建了多目标分布鲁棒优化模型对虚拟电厂中多种灵活资源的响应行为进行优化。通过理论分析及算例验证，得到如下结论。

1）精细化的需求响应随机性模型能够有效刻画各类灵活资源的响应特性，充分表征了用户响应行为的差异性，有助于获得最优的需求响应方案。相比于不考虑不确定性的情况，基于该模型对需求响应进行优化响应误差降低了26.2%，虚拟电厂的经济收益提高了7%。

2）采用多目标优化模型能够考虑需求响应对虚拟电厂、电网以及用户多方利益的影响，对应的虚拟电厂收益和电网友好性指标相比于重点考虑经济性时的电网友好性及重点考虑电网友好性时的经济性分别提升了6.7%和11.6%，说明该方法能够统筹兼顾需求响应多方面效果的平衡关系。

3）相比于鲁棒优化，分布鲁棒优化的优化结果提升了7.9%；相比于随机优化，可靠性提高了7%。随着分布鲁棒优化测试样本的扩大，优化结果得到进一步改善。综合考虑优化效果、可靠性和计算时间等因素，分布鲁棒优化在处理不确定性问题方面具有更多的优势。

虚拟电厂可以通过本文模型对需求响应进行优化，多方面地提升响应效果，但实际情况也可能存在用户响应功率超出预期的情况，因此本文下一步的研究工作包括考虑响应激励大小对用户响应行为的影响，研究需求响应市场化交易情况下的优化问题。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。