“三招”破解平面向量数量积的最值问题

2022-07-23 15:06周小宏
语数外学习·高中版上旬 2022年6期
关键词:三招共线基底

周小宏

平面向量兼有“数”和“形”两种身份,因而解答平面向量问题往往可从“数”和“形”两方面人手,寻找不同的解题思路.平面向量数量积的最值问题主要考查平面向量的数量积公式、数乘运算法则、三角形法则、平行四边形法则、模的公式等.其命题形式多种多样.那么,如何选择合适的方法进行求解呢?下面结合实例来进行探讨.

一、基底法

基底法是求解平面向量问题的重要方法.由平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,可知平面内的任意一个向量都可用基底表示出来.若不易求得目标向量,可根据几何图形的特点,选择两个基底,将目标向量用基底表示出来,通过平面向量运算求得数量积的表达式,再根据几何图形的特点和位置关系找出表达式取得最小值的情形,即可求得平面向量数量积的最值.

二、坐标法

有些平面向量数量积的最值问题涉及的图形为规则图形,如矩形、直角三角形、等腰三角形等,此时,可根据几何图形的特点寻找垂直的两条线段,据此建立平面直角坐标系,设出或求得各个点的坐标,并求得各个向量的方向向量,便可通过平面向量的坐标运算求得数量积的表达式,最后根据三角函数的有界性求得最值.

三、函数性质法

对于与动点有关的平面向量数量积的最值问题,常需运用函数性质法求解.首先需根据解题需求设出变量,然后根据平面向量的基本定理、共线定理、数乘运算法则、数量积公式等求得目标式,再将其看作函数式,利用函数的有界性、单调性、最值来求得数量积的最值.

我们根据平面向量的共线定理,设出参数t,并用t表示出 OP·AP,然后将其看作关于t的二次函数式,通过配方,便可利用二次函数的有界性求得数量积的最小值.

相比較而言,基底法比较常用,且适用范围较广;坐标法和函数性质法虽适用范围较窄,但运算量较小.在解题时,同学们可根据题意和几何图形的特点灵活选用. (作者单位:江苏省泰兴市第三高级中学虹桥校区)

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