灵活运用平面几何知识，让解题更加高效

陈春梅

一般来说，平面几何知识比较简单.在解答与图形有关的问题时，灵活运用平面几何知识会更直观、更简单、更快捷、更有效.下面重点探讨一下如何灵活运用平面几何知识解答平面向量、三角函数、解三角形、解析几何、立体几何问题.

一、灵活运用平面几何知识解答平面向量问题

平面向量的概念、运算、性质（模）、位置关系等都离不开平面几何模型，特别是三角形、平行四边形、圆等常见的平面几何模型，这就为巧妙利用平面几何知识破解平面向量问题奠定了基础.在解答平面向量问题时，可根据题意和三角形法则、平行四边形法则、向量的模的性质绘制出平面几何图形，然后灵活运用三角形、平行四边形、圆的性质及其位置关系来解题.

根据题意，合理建模，将平面向量的概念、运算等问题转化为平面几何问题，能使解题过程变得更加直观、简单.

二、灵活运用平面几何知识解答解三角形问题

解三角形问题通常与三角形、平行四边形、圆有关.在解题时，可根据题意构造三角形模型，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形等，灵活运用正余弦定理、勾股定理以及直角三角形、等腰三角形、等边三角形的性质来建立三角形三边、三角之间关系式即可解题.

结合图形，直接利用正弦定理将边化为角，并根据题目条件即可直接证明BD=b.对于第二个问题，需将问题中的边角置于三角形中，利用三角形的面积公式、两角正弦值相等确定对应角的关系，然后通过分类讨论，根据相似三角形的判定与性质建立比例关系，最后根据三角形的性质以及余弦定理来求得cos ∠ABC的值.在利用平面几何知识解答解三角形问题时，可根据图形的位置合理将其进行切割、填补，这样就能将问题转化为比较熟悉的特殊三角形问题，利用特殊三角形的性质来进行分析与处理.

三、靈活运用平面几何知识解答解析几何问题

解析几何主要包括直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆等相关知识.解析几何问题通常是与直线、圆、曲线相关的问题.在解答与直线、圆、三角形有关的问题时，可结合图形来分析问题，利用点到直线的距离公式、三角形的面积公式、圆的性质、两点间的距离公式等平面几何知识来解题.

过抛物线上的两点作准线的垂线，就可以根据抛物线的定义将问题转化为平面几何中线段|AM|、|BM|的比例问题.在直角三角形中，根据勾股定理以及三角函数的定义来求出两线段|AM|、|BM|的比例，即可解题.在解答解析几何问题时，要学会根据圆、抛物线、双曲线、椭圆等的定义、几何性质来分析问题，这样便能巧妙地运用平面几何知识简化问题.

四、灵活运用平面几何知识解答立体几何问题

在解答立体几何问题时，我们经常要将问题中的垂直、平行关系转化到某一个平面上，借助平面几何知识来解题.这样不仅可降低解题难度，还能提升解题的效率.通常可通过添加辅助线来构造三角形的中位线、平行四边形、矩形等，将异面直线，平面外的直线平移到同一个平面内，这样只需在平面内分析问题即可.

破解该立体几何问题的关键在于巧妙地将立体几何问题转化为平面几何问题.要求直线PB与AD1所成的角，需先根据正方体的性质，将异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角，然后根据线面垂直的判定与性质来确定线线之间垂直关系，进而将问题转化为解直角三角形问题.再在Rt△PBC1中，根据正弦函数的定义求得该角的大小.

在解题时，同学们要学会将问题与平面几何知识关联起来，构造相应的平面几何图形，灵活运用平面几何图形的特征性质来建立关系式.巧妙利用平面几何的图形或相关性质来分析与解答高中数学问题，有利于化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为直观，这样可使解题过程既直观，又简洁明了.

（作者单位：山东省蒙阴县实验中学）