如何解答排列组合问题

2022-07-23 15:06潘苏
语数外学习·高中版上旬 2022年6期
关键词:排列组合名额计数

潘苏

排列组合问题侧重于考查分类计数原理和分步计数原理.排列组合问题有很多种类型,如分配问题、分组问题、定序问题、相邻问题等.每一类题目的求解方法都不相同,下面结合实例来谈一谈下列几类排列组合问题的解法.

一、分配问题

例1.要在7个班中选出10名学生参加比赛,要求每个班至少一个名学生,则一共有____种分配方案.

分析:可采用隔板法,把6个隔板插入10个元素之间的9个空位中,就可以将10个名额分为7份,且每份至少有一个名额.

解:因为10个名额无差别,可以将其排成一排,那么相邻名额之间形成9个空位,在9个空位中插入6个隔板,就能将10个名额分为7份,分给7个班级,则有C6= 84种分配方法.

二、元素相邻问题

有些排列组合问题要求某些元素相邻,此时可采用捆绑法求解.首先把要求相邻的元素捆绑在一起,看成一个大元素,然后将这个大元素和其他元素放在一起排列,再排列大元素内部元素的顺序,最后根据分步计数原理求得问题的答案.

例2.7个人站成一排,其中A与B必须相邻,C与D必须相邻,一共有____种排法.

分析:元素A与B、C与D要求相邻,则需采用捆绑法求解,将其捆綁起来,看成一个大元素,再与其他元素一起排列.

三、特殊元素问题

有些排列组合问题中的一些元素或者位置有特殊要求,在解题时往往要采用优先法,即先排列特殊元素的顺序或位置,然后再排列剩下的元素的位置或者顺序,最后根据计数原理求得所有排列的顺序数.

例3.将8名同学排成两排,每排4个人.其中4同学要求坐在第一排,B同学不坐第二排的两端,则一共有____种排法.

分析:问题中A、B两名同学有特殊要求,可将其看作特殊元素,采用优先法求解.先根据其要求排列A、B两名同学的位置,再排列其他同学的位置和顺序.

解:分为两种情况:

四、定序问题

有些排列组合问题中要求某些元素的顺序不变.解答此类定序问题,通常采用缩倍法.其解题思路为:①将所有元素随意排列;②排列要求顺序不变的元素的顺序;③将所得的两个排列数相除即可.

例4. 12名同学排成一列,若甲同学要排在乙同学的前面,则有____种排法.

由此可见,问题中元素的排列要求不同,求解的方法也不相同.在解答排列组合问题时,要首先分析问题中对元素的排列要求,如相邻、定序、分组、分配等,再选择与之相应的方法进行求解.同时要注意避免漏解、多解的情况出现.

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