数形结合在高中数学中的应用

王继辉

【摘 要】 数形结合是指数学问题已知中代数条件较为抽象或者图形信息不够精确难以解题，采用数与形相结合的思想对已知条件进行深度挖掘与升华，抓住数与形之间的本质联系，进一步找准数学解题关键，实现高效解题.本文将以实际数学问题为例，通过演示详细的解题过程，阐述数形结合思维方法在集合、函数、不等式以及几何等问题中的应用.

【关键词】 数形结合;思维方法;数学解题

1 数形结合在集合解题中的应用

例1 如图1所示是表示集合关系的韦恩图.已知全集U，集合A={-2，-1，0，1，2}和集合B={x|-2≤x≤0}，则图中阴影部分可以表示为（  ）

A.{1，2}       B.{0，1，2}

C.{-2，1，2} D.{-2，0，1，2}

分析 结合集合元素定义与韦恩图特征，易知图中阴影部分表示除去与集合B共有的元素之外集合A剩下的元素，即A∩CUB的值.

解 全集为U，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-2≤x≤0}，则图中阴影部分表示的元素为A∩CUB={1，2}，所以由韦恩图可知图中阴影部分表示为{1，2}，A选项符合题意.

2 数形结合在函数解题中的应用

例2 如图2所示是关于x的二次函数一部分图像，已知该函数图像通过点A（-3，0）函数图像的对称轴为x=-1.判断以下四个结论正确的有   .

①b2>4a;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a

分析 根据一元二次函数图像性质，开口方向反应a的正负，再依据图像对称轴的横坐标位置可以判断b值的正负，再依据题目所给已知条件点A的坐标值即可进一步判断c值.

解 已知关于x的二次函数图像通过点A（-3，0），此函数图像的对称轴为x=-1，函数图像开口向下，由此可判断a<0，又b2a=1，所以b=2a，所以b2=4a2>4a成立，结论①正确;2a-b=2a-2a=0，结论②错误;b=2a>5a，结论④正确;将点A（-3，0）坐标值代入函数代数式y=ax2+bx+c中，得9a-3b+c=0，所以有3a+c=0，c=-3a，则a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，结论③错误.

注 函数章节所包含内容较为丰富，函数表达式及未知数关系等知识点相对较为抽象.教师在教学过程中要充分利用函数图像性质，引导学生掌握函数图像的特征及其与函数表达式本身、未知数之间的数值关系之间的联系.

3 数形结合在不等式解题中的应用

例3 若已知（12）x1=（2）x2=（13）x3=（3）x4=32，求x1、x2、x3、x4的大小关系为（  ）

A.x2>x4>x3>x1

B.x2>x4>x1>x3

C.x4>x2>x3>x1

D.x4>x2>x1>x3

分析 本题解题核心是依据函数值大小判断函数代数式中未知数的大小关系.观察题目已知条件发现，题目中所涉及的函数均为指数函数，由此本题的解题核心是在指数函数图形特征的基础上判断相关位置上的数值大小.

解 分别将函数C1∶y=（12）x、C2∶y=（13）x、C3∶y=（3）x、C4∶y=（2）x以及y=32的函数图形画在同一个直角坐标系中，如下图3所示

直线y=32与四个指数函数图像的交点横坐标分别对应值x2、x4、x3、x1，依据图形易判断四者大小关系为x2>x4>x3>x1，A选项符合题意.

注  数形结合思维方法在不等式解题中的应用，可以通过函数图形、集合图形与代数值之间的转化，将不等式关系体现得更为直观、明了，在一定程度上能够减小解题计算量，提高解题速度与准确率.

4 數形结合在几何解题中的应用

例4  已知空间几何体ABCD-A1B1C1D1的形状如图4所示，连接此几何体表面的某两点，得到空间直线.将该几何体沿着得到的直线旋转，旋转角度为α（0°<α<360°），得到的几何体与原几何体重合，则称此直线为该几何体的旋转轴.则正方体的旋转轴有（  ）条.

A.7  B.9  C.13  D.14

分析 根据题目所给出的几何体对称轴定义，结合题目所画的正方体示意图讨论正方体的对称轴个数.此题属于简单题，但需要注意的是情况较多，容易混淆和遗漏，是个易错题，而在解答此题目是需要注意的是分情况讨论，将所有情况考虑全面.

解 结合题中所给正方体ABCD-A1B1C1D1示意图5，由几何体对称轴的定义，将从以下三大类进行讨论：

（1）连接正方体两个对立面的中心，得到连线如上图4EF所示，正方体围绕此直线旋转，最小旋转90°即可与自身重合.由于正方体对立面有三组，故此类情况下共有3条直线;

（2）连接正方体对角的两点，得到正方体体对角线如下图6BD1所示，正方体围绕此直线旋转，最小旋转120°即可与自身重合.由于正方体体对角线共有4条，故此类情况下共有4条直线;

（3）连接正方体对棱的中点，得到正方体体对棱中线如下图6MN所示，正方体围绕此直线旋转，最小旋转180°即可与自身重合.由于正方体中相对应的棱线共有6组，故此类情况下共有6条直线;

综上，正方体体对称轴共有3+4+6=13条，C选项符合题意.

注 在处理立体几何问题过程中，由于空间立体几何对学生的空间想象思维较强，单纯依靠图形解题难度较大，为突破空间立体几何教学难关，可以将空间几何图形与代数数值相结合，使图形描述更加精准，图形中的数学条件更加清晰.