巧用化归思想 解答数学难题

谭谢燕

【摘要】同小学数学教学相比，初中数学知识显得更加复杂与专业，涉及到大量抽象的数学概念、公式与规律，不少初中生都普遍反应数学学习起来难度较大，尤其是在解题训练中，他们无法快速、准确地处理部分难题.初中数学教学可引领学生巧妙运用化归思想解答难题，笔者结合自身多年的教学实际展开探讨，同时分享一些用化归思想解答数学难题的实例.

【关键字】 化归思想;初中数学;解答难题

化归思想是对转化与归结的简称，将一个问题由繁化简、由难化易、由复杂化简单的过程就是化归，不仅是一种重要的解题思想，还是一种最基本的思维策略，也是一种有效的数学思维方式.在初中数学教学中，随着知识难度的提升，题目难度也随之增加，教师要指引学生根据实际题目巧用化归思想解答难题，提高他们解题的准确度，使其不再惧怕难题.

1 巧用化归思想，化未知问题为已知问题

例题 如图1所示，在梯形ABCD中，AD//BC，AB与CD的长度相等，两条对角线AC与BD相交于点O，且AC与BD是垂直关系，其中AD的长度是3，BC的长度是5，求AC的长度是多少？

解题过程

可以过点D作DE//AC，同BC的延长线相交于点E，由此能够得到AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8.

因为AC⊥BD，

所以BD⊥DE.

又因为AB=CD，

所以AC=BD，

所以BD=DE.

那么在Rt△BDE中，BD2+DE2=BE2.

所以BD=22，BE=42，即AC=42.

解题点评 学生处理本道题目时根据梯形对角线互相垂直的特点，通过平移对角线将未知的等腰梯形转化成已知的直角三角形与平行四边形，使他们借助化归思想顺利解决难题.

2 巧用化归思想，化陌生问题为熟悉问题

例题 解方程：2（x-1）2-5（x-1）+2=0

解题过程

令y=x-1，则原方程能够转化成2y2-5y+2=0.

通过解该一元二次方程可以得到y1=2或者y2=12，即为x-1=2或者x-1=12，解之得x=3，或者x=32，所以说原方程的解是x=3，或者x=32.

解题点评 这是一道解关于（x-1）的一元二次方程，假如把原方程全部展开求解过程比较繁琐，学生可根据特点将（x-1）设为y，把陌生问题转化成熟悉问题，便于轻松求解.

3 巧用化归思想，化复杂问题为简单问题

例题已知x2+x-1=0，求x3+2x2+2009的值.

解题过程

因为x2+x-1=0，

所以x2=1-x.

所以x3+2x2+2009=x（1-x）+2（1-x）+2009

=-x2-x+2011

=-（x2+x-1）+2010

=2010.

解题点评 本题从表面来看就比较复杂，题目中给出的已知条件不多，很难直接求出x的值，教师指导学生通过“化零散为整体”或者利用降次进行转化，使得问题变得简单化.

4 巧用化归思想，化一般问题为特殊问题

例题 如图2所示，如果∠AOB是一个定角，P点是一个定点，且位于∠AOB的平分线上，将OP连接起来，以OP为弦作圆与OA相交于点C、与OB相交于点D，求证：OD与OC之和是一个定值.

解题过程

首先可以把本题中的情况进行特殊化处理，如图3所示，假设OP位于圆内的特殊位置，是一条特殊的弦，即OP是直径，且OP=L，∠AOB=2α，由于OP经过圆心，据此能够得到∠ODP=∠OCP=90°，OD+OC=2OD=2Lcosα，所以OD与OC之和一定是一个定值.当OP不经过圆心时，证明过程如下：

如图2所示，画辅助线PF⊥OB，垂足是点F，画PE⊥OA，垂足是点E，又因为∠AOB的平分线是OP，因此能够得出PF与PE是长度是一样的，OF=OE=Lcosα，可以知道∠PDF与∠PCE的大小一样，所以Rt△PDF与Rt△PCE是一组全等的三角形，那么DF与CE的长度相同，OD+OC=（OF+FD）+（OE-CE）=OF+OE=2Lcosα，所以说OD与OC之和一定是定值.

解题点评 化归思想的特殊化方法就是先把一般问题转化成特殊形式或情况，再寻求解题方法，然后通过对特殊情况的研究解决问题，最终顺利得出相应的结论，显得高效又准确.

5 巧用化归思想，代数和几何问题的互化

例题 m、n都是正数，且满足条件m+n=3，且S=m2+4+n2+4，求S的最小值.

解题过程

使用数形结合思想，将题目中描述的内容以图形形式来呈现，如图3所示，线段AB和DE相交于点C，将AD与BE连接起来，根据题意可知BE=AD=2，m+n=AB=3，且∠CBE=∠CAD=90°，求CE+CD的最小值就是求S的最小值，从题目中可以看出，CE+CD的最小值就是当E、C、D成一条直线时，此时点C是线段AB的中点，S的值最小.假设AC=m，CB=n，根据m+n=AB=3可以得到AC=BC=12AB=32，即為m=n=32，在Rt△BEC与Rt△ADC中，CD=AD2+AC2=4+94=52，而CE=BC2+BE2=52，则DE=S=CE+CD=5，据此能够求出S的最小值是5.

解题点评 解答本题的关键是通过观察题干中所提供的已知信息，想到利用图形构造把抽象的问题转化成直观的问题，即为代数向几何的转化，然后结合图形求出相应的答案.

例题已知△ABC的三条边分别是a，b，c，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，请判断出△ABC的形状.

解题过程

因为a2+b2+c2=ab+ac+bc

所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0，

所以（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，

所以a-b=0，（a-c）=0，（b-c）=0，

所以a=b=c，这说明该三角形的三条边长度相等，

所以△ABC是一个等边三角形.

解题点评 处理这一问题时，学生通过读题发现题干中的代数式比较重要，虽然是一道几何问题，但是可以利用化归思想将原问题转化成代数问题，借助凑完全平方式的方法解题.

6 巧用化归思想，化函数问题为方程问题

例题 如图4所示，反比例函数y=-8x和一次函数y=-x+2的图像相交于A点与B点，求：（1）A点和B点的坐标;（2）△AOB的面积.

解题过程

（1）将题目中两个函数的关系式联立起来，转化成一个方程组，解之得x1=4，y1=-2;x2=-2，y2=4，据此得出A点的坐标是（-2，4），B点的坐标是（4，-2）.

（2）由于直线y=-x+2同y轴的相交于点D，坐标是（0，2），所以有S△AOD=12×2×2=2，S△BOD=12×2×4=4，所以S△AOB+S△AOD=2+4=6.

解题点评 两个函数的图像相交，这说明交点处的横坐标与纵坐标不仅适合于第一个函数，还适合于第二个函数，所以根据题意能够将函数问题转化为方程组问题，继而求解问题.

7 总语

在初中数学解题教学实践中，面对数量较多的难题，教师应注重化归思想的渗透，帮助学生掌握化归思想的使用原则与方法，使其认真审题、找准规律，通过巧妙运用实现由未知向已知、由陌生向熟悉、由复杂向简单、由一般向特殊的转化，以及代数问题与几何问题的相互转化，即为数向形或形向数的转化，最大化提高他们解答数学难题的正确率与速度.

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