初中数学圆的解题技巧研究

孙明松

【摘要】本文通过例题讲解的方式阐述初中数学教学中“圆”的有关性质的问题、圆的作用的问题、点与圆的位置关系、有关圆内弦的问题，通过详细的解题过程、解题点评来让学生加深对本节内容的学习和领悟.

【关键词】初中数学;平面图形;圆

圆是一个比较特殊的平面图形，由曲线组成，不仅是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，基于圆的这些特性，再加上同其它知识点之间的联系，关于圆的题型比较多，综合性也较强，不少学生在解题过程中极易遇到障礙或者困境，往往不知道从何处着手，教师应根据具体题目为其传授一些常用的解题技巧，提高他们解决圆类试题的能力.

1 有关圆性质的问题求解技巧

例题

已知一直径是AB的圆O，圆内有一条弦是CD，且AB通过弦CD的中点M点，将BD与OC连接起来，如果∠BOC是40°，请求出∠ABD的大小.

解题过程

结合题目中提供的信息能够判断出∠BDC与∠BOC二者分别是弧BC所对圆周角与圆心角，这样就可以结合已知条件以及圆周角定理来求出∠BDC的大小是20°;又因为CD与AB是垂直关系，所以能够知道△BDM本身就是一个直角三角形，结合直角三角形内除直角外其它两个角是互余关系，能够快速求解出∠ABD度数的大小是70°.

解题点评 处理该道与圆相关的问题时，学生可先思考要用到的一些定理，如圆周角定理、垂径定理等，再对相关图形中线段间的位置关系进行仔细分析，由此快速确定求解思路.

2 有关圆特征的问题求解技巧

例题

现有某一个内接有△ABC的圆O，点D位于CA延长线的上面，如果∠BOC=120°，试求∠BAD的大小.

解题过程

根据题干中已知信息给定的∠BAC对应长弧BC及圆心角就可以确定∠BAC的度数，即为∠BAC=12×（360°-120°）=12×240°=120°，继而能够求出∠BAD的度数，即为∠BAD=180°-120°=60°.

解题点评 本题主要涉及的是圆弧、圆心角这几个圆的特征，处理这道问题时要注意深入挖掘这些关键信息，然后通过对彼此之间的相关性展开分析，快速确定解决该问题的思路.

3 有关圆作用的问题求解技巧

例题 求证：以等腰三角形的一个腰为直径的圆能够将底边平分.

解题过程

本题要用到辅助线的方式进行求证，即：假设AB和AC是等腰三角形的两个腰，且边AB是圆O的直径，底边BC同圆O相交于点D，要想证明该等腰三角形的底边BC被圆O平分，只需证明点D为边BC的中点即可，也就是证明AD是△ABC的高，这时可以把AD连接起来，由于AB是圆O的直径，所以能够知道AD⊥BC，然后结合等腰三角形的“三线合一定理”就能证明出该结论的准确性.

解题点评 在求证本道题目中的结论时，不少学生看完题目内容后可能会感觉非常疑惑，不知道如何着手，由于解题条件和信息有限，无法快速找到突破口，运用辅助线能够求证.

4 点与圆的位置关系求解技巧

例题 已知点P到⊙O上的点的最大距离为6厘米，最小距离为2厘米，那么圆的半径r是多长？

解题过程

从本道题来看，分析题意可知点P不在圆上，那么应对点P和⊙O的位置展开分类讨论，分为点P在⊙O内与⊙O外这两种情况进行分类讨论，画出如下两幅图，（1）当点P在⊙O内时如图1所示，PA=6cm，PB=2cm，则AB=PA+PB=6+2=8cm，即⊙O的半径r=12×AB=12×8=4cm;（2）当点P在⊙O外时如图2所示，PA=2cm，PB=6cm，则AB=PB-PA=6-2=4cm，即⊙O的半径r=12×AB=12×4=2cm.

解题点评 确定点与圆的位置关系，从本质上来讲就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，当关系不确定时，应分为点在圆内、圆上与圆外三种情况分类讨论，分别求解.

5 有关圆内弦的问题求解技巧

例题 已知⊙O的半径R的长度是5，圆内有两条线AB与CD，且AB与CD平行，其中弦AD的长度是6，弦CD的长度是8，那么这两条平行弦之间的距离是多长？

解题过程

学生在教师的指导下画出以下图形，（1）当两条弦在圆心的同侧时，如图1所示，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，根据AB∥CD可知，OE⊥CD，结合垂径定理可得EB=3，FD=4，在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC=5，由勾股定理可得出OE=4，OF=3，则EF=4-3=1;（2）当两条弦在圆心的异侧时，如图2所示，根据前面分析不难求出OE=4，OF=3，则EF=4+3=7，所以AB、CD之间的距离是1或者7.

解题点评 由于本题中没有明确给出图形，无法判断两条弦和圆心之间的位置关系，所以学生要考虑到两条弦在圆心的同侧或者则异侧这两种情形分别讨论，分析可行性后求解.

6 结语

总而言之，在初中数学解题教学中，圆类问题是一类十分常见的题目，教师应利用好平常解题训练的契机，多组织学生练习这些常见的题型，使其注重熟练掌握圆的性质，以及半径、直径、圆弧、弦、圆周角、圆心角的特征，同时指导他们学会运用辅助线配合解题.

参考文献：

[1]赵中亮.初中数学圆中常见的两解及多解问题分析[J].新课程（中学）.2016（06）

[2]刘加庆，唐明干.学习圆的概念认识数学思想[J].中学教学参考.2010（01）

[3]李玉荣.一道能让“隐圆”大展身手的几何题[J].理科考试研究.2018（18）

[4]李玉荣.为等边三角形“镶”上外接圆[J].数理化学习（初中版）.2019（08）