关于上海高考数学卷中圆锥曲线试题的研究

孙建良

二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的曲線叫做二次曲线，或圆锥曲线，它的图形可能是常态圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），也可能是退缩圆锥曲线（两条相交直线、两条平行直线、一条直线、一点、没有图形）。本文主要研究常态的圆锥曲线。

笔者将通过对上海自2017年高考新综合改革以来，数学试卷（春季与秋季高考）中圆锥曲线试题的题量与题型、知识点分布和试题分值统计与分析研究，明确考查的内容，了解试题的特点，提出高三圆锥曲线复习与练习教学的建议，试图为“双减”政策和发展学生核心素养背景下的高考数学复习阶段的学和教提供有益的帮助与启示。

（一）高考圆锥曲线试题题量与题型

1.从试题的题量来看

整套试卷考查二次曲线的题量，除2020年春考、2020年秋考、2021年春考出现两次，其余年份均出现三次，占整套试卷题量的七分之一。这与二次曲线的知识内容在整个高中数学教学内容中的比例是相吻合的。

2.从试题的题型来看

试题以填空题形式进行考查的占比最多，选择题形式考查的占比最少，这与试卷中填空题和选择题的多少有关。解答题在三类题型中考查的次数处于中间，但解答题一般是综合题，题目涉及多个知识的综合应用，运算过程较为复杂，难度较大，对应的分值较高，所以，理应要引起师生的重视。

3.从试题出现的曲线频次来看

考查次数最多的是椭圆，最少的是圆，双曲线与抛物线出现的次数相当。在填空题中，椭圆出现的次数最多。而在解答题中，椭圆、双曲线与抛物线考查次数相同。比较特别的是，除2018年外，同一年的春考与秋考，解答题很少出现同一种二次曲线的。或许，这对师生的复习会有所启发。

（二）高考圆锥曲线试题知识点分布

1.从考查的知识点来看

对圆锥曲线定义和基本性质的考查，依次为椭圆、双曲线、抛物线、圆；试题的形式，以填空题与选择题为主。有的题较易，如根据给出的双曲线方程直接写出渐近线方程；而有的题较难，如，2018年秋考第12题是求圆上两点到直线距离之和的最大值，难度不亚于一个综合题。

2.从考查的综合应用情况来看

圆锥曲线一般与直线的结合最多，相关延伸的有直线与圆锥曲线交点的个数、线段的长度、两条直线的夹角；圆锥曲线与三角形，圆锥曲线与平行四边形等；2021年春考，涉及两条双曲线的综合问题，这是比较少见的现象。

（三）高考圆锥曲线试题分值

1.从试题的分值来看

每年涉及圆锥曲线的试题分值在26分左右，约占总分的六分之一。2018年春考，圆锥曲线试题分值最高，为32分——主要是出现了两道解答题。其中的一道题，是二次曲线在广告灯设计中的应用，属于应用题类型。2021年春考，相关试题的分值最低，仅有19分；不过，还考查了一题关于两条直线的夹角，属于解析几何的范畴，所以，这一考查的安排，也算是合理的。

2.从考查的重点来看

除考查基本定义和基本性质的基础题外，每年均有一道解答题，属于综合应用问题，难度系数高，学生要完整正确解答还是不容易的。这是广大师生需要正确面对的事实。

高考作为国家的重要考试，应该始终贯彻党的教育方针。中国高考评价体系，明确了高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能。因此，高考对命制试题的要求极高。纵观命题者命题的依据，不外乎以下几种：国家颁布的数学课程标准、考试大纲或说明、现行教材、历年的教学参考资料和当年学生的知识能力整体水平等。

教材既作为落实新课程标准的重要载体，又作为教师教学与学生学习的最主要范本，自然有其重要的作用。除了教材，历年的高考试题，都是经过精心研制而得，所以也会成为高考命题的重要参考。下面，我来具体分析一下高考试题的几个来源。

（一）对教材中的例题进行改编

2018年上海春考数学试题，第19题是关于圆锥曲线应用的问题。试题如下：

利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB=3米，OC=4.5米.

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）.

本题与上海教材（高二第二学期第67页的例3）高度相似。教材原题如下：

如图12-48，汽车前反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知，灯口直径是24厘米，灯深10厘米，求灯泡与反射镜的顶点的距离.（图略）

这两道题，都是关于抛物线应用的问题，均提供了灯口大小与灯深。不同之处，仅是实际应用的背景略有差异。可以说，2019年上海春考数学试题第19题，是教材例题的翻版。这种高考试题与教材例题高度类同或相似的情况，值得我们好好研究。

（二）对教材中的习题进行拓展

2017年上海高考数学试题，第20题是一个关于椭圆上动点问题，试题如下：

像这样变形，在题设条件相同时，可以得出不同的结论；有些结论几乎类同，只是从不同的角度去设问，实际求解过程基本相同。

对比2017年上海高考数学试题第20题，其中第二小问，就是以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，那就要讨论∠APM=90°、∠AMP=90°和∠PAM=90°。这与变型题2几乎类同。如果教师在平时的教学中，对课本中的例题或习题进行适当的变形和拓展，那么，学生在碰到新问题时，会利用化归的思想，把新问题转化为熟悉的老问题予以解决。

（三）对练习册中的习题进行延伸

（1）若点（2，1）在Г上，求Г的焦点坐标；

（2）若a=1，直线y=kx+1与Г相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为1，求k的值.

本题与上海教材习题（高二第二学期第38页）极为相似。原习题如下：

已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A、B两点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求当a为何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点.

这两道题目，均是关于直线与双曲线相交的问题。前者考查了相交所得线段的中点；后者则考查以相交所得線段为直径的圆，实质是圆心平分该圆的直径，也是关于线段中点的问题。只是从不同的角度去设问，学生要懂得这种围绕一个核心内容从不同的方面来提出的问题，以不变应万变。

类似的改变，还发生在2020年春考数学试题中，其第20题，是关于抛物线与直线相交问题，属于抛物线的典型性问题。试题如下：

（一）重视基础

圆锥曲线的复习，其一，要详细复习每一个知识点，把圆锥曲线的定义、标准方程、图像特征和基本性质熟记会用。其二，要学会对所学知识进行系统的整理，把分散的知识合成为一个整体，使之形成一个较完整的知识体系。如看到图形，能想到对应的方程与一些基本性质；反之，知道方程，就会画出图形和研究其特性。其三，要掌握知识类比，如复习双曲线时，对比椭圆与抛物线相似的基本性质和各自的特点，使基础知识纵向连成线，横向结成网，形成完整的知识网络。

（二）善于变换

“变”是数学学习活的灵魂，在复习时，不能仅停留在知识点的记忆程度，还要设计一定的练习题，对学生进行必要的训练。

练习题的选择和设计，一是在于精。对一些典型的圆锥曲线问题，要分析透彻，训练到位。二是注意融入一题多解的实训。即对同一个问题，能从不同的角度进行分析，建立不同式子，寻找相异的路径，得到相同的结果，达到殊途同归的效果。三是注意加强一题多变的实训。即在相同条件下，把结论改成等价结果或相近的结果；在结论不变时，适当改变问题的条件，而解题的方法基本不变。四是注意进行多题一解的实训。即要善于对解题方法归类总结，把问题不同而解题方法相同或相近的归成一类，着重对通性通法的总结，达到解一道题破一类题的效果。

（三）适当综合

综合应用，包括综合与应用两个方面。

所谓“综合”，其一，是知识的综合。既有圆锥曲线各个知识相互关联叠加，也有其他知识如向量、直线、三角形等与圆锥曲线结合。其二，是数学思想方法的综合。如函数思想、方程思想、分类思想和数形结合思想等相互融合。

所谓“应用”，一是运用简单的知识解决复杂的数学问题，二是运用数学的知识和方法解决实际生活中的问题。如2021年春考数学试题第19题，就是运用二次曲线解决测量问题。三是解题方法的综合。如根据题目给出的条件，列出方程或方程组，直接求出结果。四是设置参变量，通过设而不解的方法得出结论。

可见，我们只要对近五六年的高考圆锥曲线试题的统计数据、来源等进行精准分析，就可以高屋建瓴、把握趋势，从而由精准复习入手，为落实“双减”背景下培养学生的数学核心素养，实现“减负增效”作出贡献。