碰撞——理论力学的盲区

余同希

(香港科技大学，中国香港)

1 碰撞研究简史

碰撞事件在自然界、人们的生活、运动和工程中经常发生，例如陨石撞击地球、物体跌落地面、车辆碰撞事故、球拍击球、跑步时脚底撞击地面，等等。对碰撞的科学研究可以追溯到笛卡尔，他在1644年出版的《哲学原理》中讨论碰撞问题时引进了动量的概念，用以度量运动，但他对碰撞提出的7个论断均不正确。

鉴于对碰撞问题众说纷纭，1660年成立的英国皇家学会于1668年征集对碰撞问题的研究。于是当时西欧的3位大科学家雷恩，沃利斯和惠更斯于1668—1669年先后提交了报告。雷恩和惠更斯均研究了完全弹性碰撞的情形，这时动量和动能均守恒；而沃利斯研究了完全非弹性碰撞的情形，这时动量（当时被莱布尼兹称为“死力”）守恒，但能量（被莱布尼兹称为“活力”）不守恒。

当英国皇家学会1669年讨论这些报告时，胡克（1635—1703）问道，在完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞这两种情形之间怎么办？是不是应该考虑阻尼和变形？但他没提出关于碰撞的报告（他在1678年提出了胡克定律，但这是后话）。为什么这次大讨论中没见到牛顿（1643—1727）的身影呢？因为当时他还太年轻，1665年他从就读的剑桥大学回老家躲瘟疫，直到1669年拿到剑桥大学卢卡斯数学教授的位置。

众所周知，1687年牛顿发表的《自然哲学的数学原理》奠定了牛顿力学的基础。他提出动力学的三大定律是基于前人100年来的研究成果。牛顿第一定律是基于伽利略和笛卡尔对惯性运动的研究；牛顿第二定律发展了伽利略对落体运动的研究，给出了进而经过牛顿第三定律把物体的相互作用力同动量的改变联系起来了。所以，惠更斯和雷恩等人研究碰撞时得出的动量守恒原理相当于牛顿第三定律的积分形式。

没有碰撞就没有动量交换，因而现在我们看到，在任何一本理论力学课本中为了阐述动量守恒定律，就一定要讲碰撞，通常只需要讲对心正碰撞。但是，讲碰撞就遇到一个绕不过的麻烦：即使是两个没有大小的物体（质点）的对心碰撞，也有两个未知数（即碰撞之后两个质点的速度），却只有一个方程（动量守恒）。

图1是两个物体对心正碰撞的最简单情况。现在假定碰撞前物体B1和B2沿着同一条直线，分别以初始速度v10和v20运动。为使碰撞发生，假定v10＞v20。令F为碰撞过程中两个物体间相互作用力的量值。进一步假定两个物体接触面的取向，使得力F平行于它们运动的直线，并朝向它们的质心。这些条件意味着碰撞后两个物体将继续沿着同一条直线运动。

图1 两个运动物体的对心正碰撞的过程

因为碰撞持续时间通常是非常短暂的，体积力(例如重力)或者其他作用在这两个物体上的外力在这期间提供的冲量可以忽略不计。于是，由这两个物体组成的系统沿着它们运动直线的动量应当守恒，即

这里v1f和v2f分别表示物体B1和B2碰撞后的速度。显然，这两个未知的速度无法由单一的动量守恒方程求出。

对于这个数学方程欠缺的问题，牛顿是怎样解决的呢？从图1不难发现碰撞过程包含两相：压缩相（compression phase）和恢复相（restitution phase）。按照牛顿的思路，力是冲量的变化率，而在恢复相期间两个物体间传递的冲量Pr通常要小于在压缩相期间相互传递的冲量Pc。这两个冲量之比称为动力学恢复系数（kinetic coefficient of restitution），它的意义可以用图2表征，

图2 压缩相和恢复相中的力和冲量的变化

如果只关注运动学量的变化，可以把恢复系数e定义为（据说也是牛顿最先采用的）

这样定义的e被称为运动学恢复系数(kine-matic coefficient of restitution)。可以证明，对于对心正碰撞，排除两物体构形偏心或者在碰撞中发生滑动的情形，式（3）和式（2）所定义的恢复系数是完全等价的，参见文献[1]。

显然，如果e已知，可以联立式（1）和式（3），求出两个物体碰撞后的最终速度v1f和v2f，问题就得到封闭解了。这也正是目前大多数理论力学课本教给学生解决碰撞问题的办法。

2 恢复系数是材料常数吗？

按照上面的解题思路，遗留的事情就是怎样针对具体的问题确定恢复系数e；但无论哪种定义的恢复系数都需要从实验测定或借助其他力学/物理关系来确定。牛顿本人设计了如图3所示的撞击装置，用一个3.048 m长的大摆进行不同材质的小球碰撞，测量得到钢球撞击前后的速度比几乎为1，软木球略小于1，玻璃球为15/16，而密实羊毛球只有5/9。参照这些数据，不少后继者相信恢复系数是仅由材料决定的常数。在我国目前采用的理论力学教材中，有些列表就说明恢复系数直接同材料关联，而且不少仍然采用300多年前牛顿的实验数据，例如列明玻璃与玻璃之间撞击时e= 15/16。

图3 牛顿的撞击摆

事实上，更多的实验表明，恢复系数并不是材料常数，它同撞击双方的形状、尺寸有关，还同撞击速度密切相关。用 “恢复系数是材料常数”来教学生是一种误导。

如果从能量的角度来考察碰撞，可以证明碰撞的恢复相释放的弹性能与压缩相所贮存的变形能之比就等于恢复系数e的平方；而且这样定义得到的能量恢复系数(energetic coefficient of restitution)在正常情况下也与式（2）和式（3）定义的恢复系数等价[1]。前面已经提到，只有在完全弹性碰撞时才有e=1 ；除此之外，碰撞都会带来动能的损失。这一点在后面将要进一步分析。

3 完全弹性碰撞情形下的撞击脉冲与峰值力

为了避免繁复的数学推导，下面集中考察一个简单的特殊情形：一个质量为m，以初速度V0作平动的均匀小球对一个静止的、质量无穷大的半空间发生正撞击，也就是假定撞击发生时球体的初速度沿着半空间的法向。由于半空间的质量足够大，撞击后它不会发生整体刚体运动，按照运动学和能量定义的恢复系数就简化为

其中Vf和Kf分别是小球回弹后的速度和动能。对撞击过程应用动量–冲量定理，得到的是

其中t是时间，T是撞击的持续时间，F（t）是撞击力脉冲，即撞击力随时间变化的函数。对一个碰撞问题如果只知道m和V0，从单一的方程（5）试图求出F（t），T和e这么多未知量显然是不可完成的任务。

如果采用恢复系数的动力学定义，式（2）虽然将恢复系数e同撞击力F（t）联系起来了，但是压缩相到恢复相的转换时刻tc以及两个物体的分离时刻tf都无法在理论力学的框架内确定，更不用说求出撞击力F（t）随时间的变化规律和峰值力了。对此，本文作者2018年在《烧脑之问：撞击力有多大？》一文[2]中已有阐述。

从以上讨论中得知，即使假定碰撞是完全弹性的（e= 1），理论力学也并不能得出包含撞击力变化的完全解。因此，求解碰撞问题的出路只能是求助于固体力学，即变形体力学。首先可以尝试的是应用弹性体动力学和弹性接触理论这些成熟的理论工具，看看能不能得出有意义的结果。

作为最简单的情形，考虑一个质量为m的刚性块以初速度V撞击一个Winkler地基，地基的弹性响应用一个弹性系数为k的线性弹簧来模拟（图4）。这时运动方程为其解为因而撞击力是一个半正弦脉冲

图4 刚性块对弹性地基的撞击

为了考察撞击双方的局部弹性变形对碰撞的影响，首先将两个弹性球体接触的Hertz理论用到弹性小球同弹性半空间相接触的情形。假定二者杨氏模量相同，且泊松比为0.3，就可以得出接触圆半径a，最大应力σ0和中心压入深度δ随压力F变化的关系为[3-4]

其中E和R分别是小球的杨氏模量和半径。式（7）中最值得注意的是力与位移的非线性关系

将上述接触理论用于撞击时，需要假定撞击引起的变形是十分局部的，因此可以忽略局部动态变形的惯性力，从而认为式（8）给出的F就代表了撞击力。于是，对满足Hertz接触的撞击，运动方程可以写成，相应得到的最大压入深度（位移） (δ*) 、撞击力峰值(F*)和撞击的持续时间 (T) 分别是

可见，撞击速度越大时，撞击力的峰值越大（同V6/5成正比），而撞击的持续时间则略微减小。撞击力和压入深度随时间的变化曲线（见文献[2]中的图4）都显示了恢复相与压缩相的对称性，这正是完全弹性碰撞的特点。

4 恢复系数小于1的弹性碰撞

在碰撞过程中，尽管系统的各种能量加在一起的总能量应该守恒，但度量系统作刚体平动的整体动能却未必守恒。那么，能量跑到哪里去了呢？定性地说，能量的去向可能有：（1）弹性应力波；（2）弹性振动；（3） 塑性变形；（4） 断裂；（5）黏性变形。后三者都可以导致机械能的耗散。

对于大多数碰撞，（4）和（5）是可以忽略的；如果假定两个物体都十分接近刚体，屈服应力很高，（3）也可以放到以后去讨论，那么（1）和（2）是否重要呢？研究发现，即使两个物体只发生很小的弹性变形，应力波和振动也会分走原本由刚体平动携带的“整体”动能。因此，即使碰撞双方的物体（或结构）都是完全弹性的，恢复系数通常也会小于1。可以说，恢复系数表征了原先的系统刚体平动携带的整体动能因碰撞产生的能量重分配。这才是恢复系数的力学和物理本源。

对于应力波带走的能量，早在1956年，Hunter[5]就给出了一个经典分析，指出小球撞击弹性半空间后，所激发的弹性波虽然一去不复返，但带走的能量大约只是撞击能量的3%，通常可以忽略不计。

系统整体运动的动能向振动动能的转化又取决于哪些因素呢？文献[6]采用一个双质量、双弹簧的简单模型作出了演示。如图5(a)所示，两个质点m1和m2以弹簧系数为k1的弹簧相连接，它们以共同的初速度V0撞到一个半空间上，撞击区的局部刚度可以用接触弹簧k2来代表。

文献[6]的分析计算结果表明，恢复系数COR（coefficient of restitution，也就是e）与初速度V0无关，但它依赖于本模型的两个无量纲参数：质量比和弹簧系数比如图5(b)所示。β=0 代表半空间表面非常刚硬的情形。这时如果α≈0.7 ，恢复系数展现它的最小值emin≈ 0.18。注意到能量“损失”与恢复系数呈平方关系，此时仅有大约3%的初始动能保留为系统的整体动能（以系统质心的平动速度表征），而大约97%的初始动能转化为两个质点相对于系统的质心的振动所携带的能量。尽管这个系统完全是弹性的，仍然会出现超乎预料的非常小的恢复系数(0.18)，这个结果有力地说明了碰撞激发起了系统的弹性振动，它携带的动能极可能是产生e＜ 1的重要根源。

图5

类似地，对于弹性系统的碰撞，Wang等[7]采用弹性振动的模态叠加法研究了弹性梁对弹性支座的撞击，也发现了恢复系数可能小于1，其数值同梁与支座间的柔度比相关。在这些例子中，e＜ 1的根源是碰撞之后梁的弹性振动分担了动能，使得梁回弹后的整体平动动能减少。

5 弹塑性碰撞

前面介绍了应用Hertz理论求解弹性小球撞击弹性半空间的问题，得到完全弹性的e= 1，结果看来完美无瑕。可惜的是，进一步的研究发现对于实际的金属材料，这个完全弹性碰撞解的适用范围极其有限。例如，文献[1]表6.1列出了产生材料屈服的最小撞击速度，对于软钢，其最小撞击速度约为0.1 m/s甚至更低；这就是说，只要刚性小球从1 mm的高度坠落到大块软钢的表面，在表面下方某处可能就已经达到塑性屈服应力了。当然，由于这时的屈服区域很小并受到周围弹性变形区的约束，并不能导致塑性流动，但是从理论上讲，前述完全弹性解也需要修正了。多年来已经有很多文章研究球与半空间之间的弹塑性接触和弹塑性撞击，采用的理论模型各不相同，数学推演都相当复杂。限于篇幅，本文就不作评述了。

当一个弹塑性结构物撞击到一个固壁上时，它的大变形和回弹过程既与弹性振动耦合，又可能涉及塑性区的萌生和演化，因而呈现出丰富的力学行为。例如，假定一个薄圆环撞击固壁，且圆环面和撞击速度都垂直于固壁，这时数值模拟[8]和实验研究[9]发现，圆环的变形轮廓(deformation profile)和恢复系数均主要由撞击速度决定，圆环壁厚与半径之比只是次要因素。

图6显示了薄圆环对固壁撞击后的恢复系数随撞击速度的变化，这里采用了屈服速度VY来对撞击速度V0进行无量纲化。屈服速度代表使弹塑性材料表面发生屈服的最小撞击速度，其中Y,E和 ρ分别是材料的屈服应力、杨氏模量和体积密度（参见文献[10]）。

观察图6，有两点特别值得注意：（1）即使撞击速度非常低，恢复系数也并不接近1，而是e=0.78～0.80 ，这表明撞击仍然不是完全弹性的；（2）恢复系数随撞击速度的增大持续下降，而在V/VY≈ 1附近出现一个斜率突变的拐点。

图6 薄圆环对固壁撞击后的恢复系数随撞击速度的变化 [8-9]

对于第（1）点，吴志鹏等[11]和Wang等[12]用不同方法作了分析研究，都证明了，对固壁作速度很低的撞击仍然可以激发圆环产生显著的弹性振动，而且基本振动模态可以分享36%～40%的系统总动能，从而导致e= 0.78～0.80。这是圆环对固壁撞击必然呈现非完全弹性的内因，也是它与薄壁圆球对固壁撞击（速度很低时恢复系数为1，见文献[13]）截然不同的地方。

上面观察到的第（2）点，反映出撞击速度达到屈服速度左右时，圆环塑性动态大变形的模态会发生急剧变化，因而塑性耗散能量的变化率也随之改变。总之，圆环对固壁的撞击为理解撞击引起的能量重分配提供了丰富的信息，值得深入探讨。

6 结语

对于碰撞这样一个广泛存在的力学现象，理论力学的动力学部分提供给我们的理论工具仅仅是动量守恒和动量–冲量定理，它对撞击力、撞击脉冲和能量损失这些重要的力学量均不能给出任何信息。这是由于理论力学固守质点和刚体的假定、过于理想化的结果。假设恢复系数是一个材料常数更是一种误导。因此，碰撞是理论力学一个很大的盲区。

必须看到，力学专业的学生，以至整个工科专业的学生和研究生在他们的学习生涯中认识撞击的唯一机会是理论力学。课程设计上的这一局限使很多学生不知道怎样运用力学去正确地分析和解决撞击的问题。在实际工作中遇到撞击工况时，绝大部分研究和设计人员不知道怎样确定恢复系数，只能完全依赖于有限元数值模拟，但不明白应该怎样去划分单元，怎样去设定时间步长和接触条件等等，也缺乏必要的知识去判断数值模拟的结果（例如撞击力的大小，是否有回弹等）是否合理。

在冲击和碰撞这个专题上我们对学生的力学培养是严重缺位的。在力学基础教学改革中如何弥补这一块知识、树立正确的概念，是一个值得认真研讨的问题。

此外，需要说明，由于碰撞过程的复杂性，本文中的分析仅限于物体之间的正碰撞，未涉及物体的斜碰撞。斜碰撞也是生活和工程中经常发生的现象，例如前面提到的球拍击球、跑步时脚底撞击地面都是斜碰撞。存在摩擦的斜碰撞是机理尚未完全明了的更复杂的力学问题。如果能在已有研究基础上作进一步探索，则将对碰撞的力学原理有更全面、更透彻的理解。