如何在教学中培养学生的思维和能力(2):定性与定量

2022-08-19 11:37高云峰
力学与实践 2022年4期
关键词:四叶草定性力学

高云峰

(清华大学航天航空学院,北京 100084)

作为一名高校理论力学教师,在理论力学的第一次课程中,我会介绍这样一张图(图1),它表明理论力学在处理实际工程问题中的位置。由于学时所限,力学课程的内容主要限定在如何从“力学模型”到“数学模型”。我们缺乏“工程问题”简化为“力学模型”的环节,学生做作业或考试直接面对的就是已经简化好的力学模型(具体题目);我们也缺乏“数学模型”如何“分析计算”的环节,虽然学生在数学课程中学过必要的数学知识,但与力学的关系有点远;我们更缺乏“实施”环节,也许学生要等到毕业设计才有一点实践的机会。

图1 理论力学在实际问题处理中的位置

一般来说,从“工程问题”到“力学模型”,需要力学知识和工程经验,也需要定性分析的方法(见后面具体案例);而从“力学模型”到“数学模型”再到“分析计算”,更接近平时的作业,需要应用具体的力学知识和定量分析的方法。

定量分析是依据数据和模型,计算出分析对象的各项指标及其数值的一种方法。定性分析主要是凭直觉、经验,对分析对象的性质、特点、变化规律作出判断的一种方法。

定量分析的特点是问题的数据和模型已知,传统力学的作业就是典型的定量分析问题:题目给出了模型(各种结构、机构等),给出了数据(已知条件);定性分析的特点则是问题的数据或模型不清楚,在数据不充分或者模型建立之前比较适用。两种分析方法各有特点,传统教育偏重于定量分析,涉及定性分析的内容很少。实际上,现代定性分析方法同样要采用数学工具进行计算,而定量分析则必须建立在定性预测基础上,二者相辅相成,定性是定量的依据,定量是定性的具体化,二者结合起来灵活运用才能取得更佳效果。

在发明创造中也十分需要定性和定量分析。一个装置发明出来之前,并不清楚内部会是什么结构,因此也无法进行直接的分析计算。发明是根据希望的功能或特点,逆向设计系统可能的结构形式,在得到大致的结构后,再利用定量分析的方法确定精确的参数。

下面几个案例从不同的角度介绍了定性与定量分析的方法,可以让学生体会到定性与定量分析相结合,既简单又巧妙地解决问题。

1 落体运动的定性分析

物体自由下落时,由于地球的自转,落体并不是沿着铅垂线下落。在北半球,物体下落时科氏加速度向西,因此科氏惯性力向东(图2),使得物体向东偏,而向东的运动又引起物体向南偏[1]。

图2 非惯性系中解释落体偏东南

为了训练学生的思维,我会提出问题:如何在惯性系中解释落体会偏东、偏南呢?

物体在A点释放前,相对地面B点静止(B点是A点的垂线与地面的交点)。在惯性空间看,A和B同时绕地轴自西向东运动,且有

因此物体从A点下落过程中向东偏,而B点也自西向东运动。根据式(1),物体向东运动的速度更大些,因此落体落在B点的东边,落体向东偏(图3)。

图3 惯性系中解释落体偏东

如何解释向南偏呢?在惯性空间看,物体以初速度vA做抛物线运动(更准确说是圆锥曲线运动),运动轨迹在由速度vA与AB连线构成的平面内,该平面与过B点的经线相切(图4)。从AB角度俯视,当物体从A点落到地面A*时,B点沿着经线运动到B*(图5)。注意到北极点在经线圈内,沿经线运动时不算偏北也不算偏南,进入经线圈内算偏北,出了经线圈外面算偏南。A*点在经线之外,因此落体偏南。

图4 惯性系中解释落体偏南

图5 沿AB方向俯视图

可以发现在惯性系中解释落体偏东偏南比较麻烦,但这是学生利用概念解释某种现象的一次锻炼。

2 四叶玫瑰线的定性和定量分析

在讲授运动学的知识时,我会设计一个“基于设计的学习”案例[2],从寓言故事引出问题并让学生自己设计装置,把定性分析、定量分析的方法教给学生。

这是关于寻找幸运草的寓言故事,找到四叶草(图6)就会得到幸福。因为四瓣叶子分别表示真爱(love)、健康(health)、名誉(glory)和财富(riches)。

图6 四叶草

寓意中为什么不说寻找三叶草呢?因为三叶草很容易找到。有调查表明自然界中每十万株三叶草中可能只有一株四叶草。那么问题来了:既然四叶草很难找到,学生们能否自己创造四叶草呢?然后从四叶草引出四叶玫瑰线,目标是设计出一种简单的装置,可以画出四叶玫瑰线(图7)。

设四叶玫瑰线的每瓣最大尺寸为a,在极坐标中,其方程为

学生首先遇到的问题是:四叶玫瑰线能否用简单的装置精确地画出来?这个问题与平时的作业不同:不清楚该装置是否存在,如何用所学的知识来分析这一问题呢?对于不清楚结构的问题,没法采用定量分析的方法,但是可以采用定性分析的方法。

首先证明存在性。从数学角度看,方程(2)在直角坐标中可以表示为

利用三角公式后有

式(4)意味着什么?通常学生认为这是三角函数问题,现在要换个角度看,它是否表示运动合成呢?

从运动学角度看,质点在xy平面内作圆周运动时,其运动方程是

反过来说,满足方程(5)的点作圆周运动。根据这一启示,方程(4)可以改写为

式(6)暗示了四叶玫瑰线是两个圆周运动叠加的结果,而角度前面的倍数表示转动的快慢,正负号表示转动的方向不同。

存在性解决了,这两个圆与四叶玫瑰线的尺寸a有什么关系呢?下面利用运动合成的知识进行定量计算。

假设大圆O半径为R,小圆O′半径为r,小孔P与O′的距离为e,初始时假设两圆在A点接触,AOP水平(图8)。由于小圆在大圆内作纯滚动(图9),有

图8 装置初始位置

图9 运动时角度的关系

P点坐标为

联立式(6)~(8),解出

有兴趣的学生们根据式(9),利用CAXA软件很容易获得标准齿轮(内齿轮、外齿轮)的轮廓,然后利用激光切割机,快速高精度地获得需要的齿轮,为了进行对比研究,特意在齿轮上多开了一些孔(图10)。按住大齿轮,把笔放在小齿轮上适当的孔中,转动小齿轮,就可以画出标准的四叶玫瑰线了(图11)。

图10 设计制造的装置

图11 最终画出四叶草

学生们尝试制作装置时发现,装置的参数稍变一点,就不是我们要的结果。要想得到四叶玫瑰线,必须确定精确的参数。这表明在寓言中寻找四叶草不容易,在实际操作中要画出四叶玫瑰线也不容易。

3 欹器的定性和定量分析

在讲授平衡与稳定的内容时,我设计了一个复原孔子时代欹器的案例,既与力学有关,又把教育含义、创意设计、动手实践融合在一起[3]。

欹器已经失传近千年,不清楚形状,但是经过定性分析,再利用计算机计算,可以做出一个在桌面上演示的模型,涉及表面形状、重心位置、平衡、稳定等因素,且各因素耦合影响,还是比较复杂的。下面是部分定性分析与定量计算的内容。

(1)关于外形的定性分析

根据直观的感觉,欹器的底部不能是平的碗底(角度不会变化),而应该是某种曲线(图12)。这就是定性分析的结果,简单而不需要任何参数。

图12 外形示意图

(2)关于重心变化的定性分析

一个均质圆柱形容器,空的时候重心大致在中心位置;加水后整体重心会下降;加满水后重心又回到中间位置。因此得出一个重要的结论:向欹器中加水时,重心位置会变化,虽然具体变化规律与形状有关,但重心位置总体变化趋势是先下降再上升(图13)。

图13 重心高度变化示意图

(3)关于平衡与稳定的定性分析

欹器底部的区域可以用一个半径为r的球代替,直观上可以知道:如果重心C在圆心O的下方,就可以像不倒翁直立,C在圆心上方就会倾斜。因此,初始时欹器的重心应该在O点上方,加一些水后重心应该低于O点从而直立,加满水后重心应该回到O点从而倒下(图14)。如果加满水重心仍在O点下方则欹器不会倒下,如果没有加满重心就超过O点,欹器就不满足“满而覆”。

图14 欹器工作示意图

从上述分析可以看出,虽然不知道欹器的具体形状和参数,但已经知道它需要满足的重要特点,这就是定性分析的威力。

(4)定量计算及实施

有了以上的定性分析,其原理就清楚了,可以按图15的流程利用计算机进行定量计算:先试探设一个底部的函数,然后分析计算其结果是否满足图14中的关系,经过多次修改后有了经验,应该可以成功。

图15 定量分析的流程

在讲解平衡与稳定的内容时,学生看到复原的欹器演示收获很多。有兴趣的学生可以在分析计算后得到曲线方程,然后用AutoCAD进行设计,用激光切割机加工出来。这是学生们在测试的照片(图16)。为了避免水撒到桌面上,可以用钢珠代替水(图17)。这种欹器可以在桌面上演示,是很好的“座右铭”。

图16 学生在演示欹器

图17 用钢珠代替水

4 总结

本文提倡一种“基于设计的学习”,从四叶玫瑰线和欹器的案例可以看出其特点,它涉及定性分析、定量计算,也涉及创意和设计,最后的结果还对学生具有教育意义,这是目前教育中所缺失的。

从以上案例中可以得出几点结论或启示。

(1)落体偏向问题在非惯性系中很容易解释,但在惯性系中的解释就需要考虑运动的特点:物体和落点具有不同的速度以及物体在平面内运动,利用这两个特点就可以解决问题。这反映了定性分析的特点:充分利用系统本身的特点,找出反映其特征的信息。这一案例有利于让学生进行探究思维。

(2)四叶玫瑰线问题让学生了解理论如何指导实践,学生们在实际操作中也体会了寻找四叶草寓言的含义,并把寓言中寻找幸福转变为现实中自己创造幸福,让学生获得一种超越知识的认识。这一案例属于设计问题,是一种逆问题,学生习惯了平时的作业,偶然处理一些逆问题能让思维更开阔。

(3)欹器具有很多教育含义:从历史角度涉及孔子及其“中庸之道”;从教育角度涉及“满招损,谦受益”;从力学角度涉及平衡、稳定、重心;从能力培养的角度涉及逆向设计、动手制作等。也正好符合清华大学提倡的“价值塑造”、“能力培养”、“知识传授”。

未来社会需要更多的有创造性思维的人,适当的定性分析更能让学生的思维得到更好的训练。通过这些案例,可以发现创造性思维并不是凭空产生的,它可分解为一系列的过程,而每一过程可能都很简单。因此每个学生都具备潜在的创造性,关键是如何重组这些简单的过程。给学生一些实际问题或者逆向设计问题,是一种很好的训练方法。

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