运用分类思想解高考数学试题例析——以2020 年高考题为例

扬州大学(225002) 杨 开 濮安山 黄强联

分类思想是数学思想中的重要组成部分,是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想. 分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果. 简单来说,就是学生在解决数学问题的时候,如果无法采取某种单一的方法去解决问题,就可以把该问题进行划分分割,形成若干个小问题,再针对小问题运用已有的方法去解决,最终实现解决问题的目的. 并且在运用分类思想过程中我们要遵循互不相容原则、不遗漏原则以及统一的原则本文结合20 年高考试题实例,探讨分类思想在有关函数、数列以及不等式高考题目中的应用.

1 函数题目中运用分类思想

1.1 分类思想在正比例函数中的应用

我们拿2020 年全国2 卷(理科)第23 题为例.

我们结合材料的种类或者主要功能把全园的室外活动场地划分为若干小区，如：球区、绳区、攀爬区、投掷区、跳跃区、平衡区等，同时在每个活动区固定投放各种现成的或自制的运动器材，如：在平衡区投放平衡凳、易拉罐做的梅花桩、竹制高跷、木制多人大脚板；在钻爬区投放泡沫垫、大纸箱钻洞、绳网、钻圈；在跳跃区投放环保布跳袋、纸盒积木、纸板荷叶、障碍瓶跨栏等等，幼儿可以自由选择同伴、自由选择活动区域、自由选择运动器材自行练习走、跑、跳、钻爬、投掷、平衡等动作，教师则可以每天有重点的观察孩子的动作发展情况并给予个别指导和帮助。

例1 已知函数f(x)=||x-a2||+|x-2a+1|,当a=2时,求不等式f(x)≥4 的解集.

分析要求f(x) ≥ 4, 当a= 2 时, 结果会出现f(x) =|x-4|+|x-3|, 该题涉及到了绝对值问题, 而我们一般求解集问题的时候一般是要去掉绝对值的, 而去掉绝对值需要分为多种情况分别求解, 所以这里就用到了分类思想,由于式子是两个绝对值相加,所以将x分成x≤3,3＜x ＜4,x≥4 三段来分别求解x在三段区间内的取值范围,最后将它们整合得到最终的解集.

解当a=2 时,

影像学检查手段的丰富及相关解剖结构认识的深入，MRI检查中HIZ改变和Modic改变被认为是诊断腰部疼痛的重要改变。本研究拟通过探讨MRI中的影像学改变对于诊断腰椎管狭窄症腰痛的临床价值。

这里我们来看例4 的解法,

1.2 分类思想在指数函数与对数函数中的应用

又例如涉及到指数函数和对数函数的问题并运用分类思想解决该类问题,在高考题也时有出现. 例如2020 年山东卷21 题.

2.4.1 单因素分析 对影响妊娠期UI发生的相关因素进行单因素分析，结果显示孕前BMI、分娩方式、分娩次数、孕周、盆底肌锻炼、盆底治疗、糖尿病（包括妊娠期糖尿病）、便秘情况差异有统计学意义（P＜0.05），见表2～4。

分析若想求得a的取值范围,该题需要对a进行分类讨论,对于a ＞1,0＜a ＜1,以及a=1 进行分类讨论.

综上所述,a的取值范围是[1,+∞).该题主要是针对a的范围进行分类讨论,运用较为巧妙,需要注意的是,对a的取值范围进行分类讨论.

例2 已知f(x) =aex-lnx+lna. 若f(x) ≥1,求a的取值范围.

血药浓度监测对于指导临床合理用药有着重要意义，“指南”和专家共识都推荐多种药物进行血药浓度监测，如万古霉素、环孢素、卡马西平、茶碱、地高辛等。本课题组之前开展了许多关于抗结核药血药浓度相关的研究[4]。由于抗结核药的检测没有商品化的试剂盒可供选择，所以不能选择自动化程度高的FPIA技术，使用的是HPLC检测法。该技术相对于FPIA技术操作比较繁琐，耗时多，难以大批量检测；但可以稳定地检测出较低的药物含量，回收率、稳定性和精确度都符合生物样品分析的要求，可以用于临床药物检测及药物动力学研究。

为贯彻落实财政部《行政事业单位内部控制规范（试行）》精神，高校对内部控制建设日益重视。大多数高校从整体上对内部控制制度及流程重新进行了梳理和规范，根据各自特点与发展方向，改进内控体系建设，提高精细化管理水平。

1.3 分类思想在三角函数中的应用

在高中数学数列问题的教学过程中,分类思想也应用广泛. 数列问题是最近一些年来高考大纲中所要求的必考的题型, 分类讨论思想在数列问题的实际解题过程中较为常见,并针对性的对于数列实际周期和等比数列求和问题等具有良好的解题效果. 结合分类和讨论两种思想内容,能够有效提升学生解决问题的能力,加强解题效率,从而能够在保障解题准确性的同时,帮助学生养成良好的解题能力. 分类讨论思想在实际解题的过程中能够更好地体现出自身的解题优势性,并在针对性的进行数列相关问题的解题帮助和实质性的理解时, 让学生能够就此过程来掌握更加全面的内容,提升学生的实际性解题速度,保障最终的解题效果. 这样的解题思维模式应用能够推进当前教育教学的成效,并从促进学生数学思维能力发展和掌握的同时, 让学生学习到更多的知识内涵,增进其对数学知识的内在理解和掌握,我们拿2020 年上海卷第21 题为例:

例3 已知函数f(x) = sin2xsin 2x,讨论f(x)在区间(0,π)内的单调性;

仔猪白痢属于一种肠道传染病。在疾病早期，仔猪摄食量正常，体温及精神均无明显变化，只有粪便颜色存在异常，以灰白色带为主，混有绿色，粪便中存在粘液。随着病情不断加重，明显的变化是精神沉郁、食欲不振以及背毛粗乱、没有光泽、四肢则软弱无力、反应淡漠。如果病猪伴有肺炎、呼吸急促、咳嗽以及脱水等临床症状，且没有对其进行有效治疗，通常在病发后7 d出现死亡。部分病猪会逐渐变成慢性腹泻，即使康复也会因不良生长而成为“僵猪”。仔猪白痢是影响仔猪成活率的主要疾病[1]。

解x ∈(0,π),则

2 数列题目中运用分类思想

此外还有一些三角函数的问题也是以函数为基础,在其中作的一些改变，例如2020 年全国2 卷理科第21 题.

例4 有限数列{an}, 若满足|a1-a2| ≤|a1-a3| ≤...≤|a1-am|,m是项数,则称{an}满足性质p.

分析讨论单调性,即对原函数进行求导寻求极值点,之后对极值点进行分类讨论即可.

若a1=1,公比为q的等比数列,项数为10,具有性质p,求q的取值范围.

分析该题若要求q的取值范围,只能对其进行分类讨论.

如果学生能够在函数问题的解题过程中将题目中所给的条件进行分类,在分类以后有条理的分步进行解题,将能够大幅度提高学生的解题效率与解题能力.

解由题意可得|qn-1| ≥ ||qn-1-1||,n ∈{2,3,...,9},两边平方得:qn-2qn+1 ≥q2n+2-2qn-1+1,整理得: (q-1)qn-1[qn-1(q+1)-2]≥0,当q≥1 时,得qn-1(q+1)-2 ≥0,此时关于n恒成立. 所以等价于n=2时q(q+1)-2 ≥0,所以(q+2)(q-1) ≥0,所以q≤-2或者q≥1. 当0＜q ＜1 时,得qn-1(q+1)-2 ≤0,此时关于n恒成立,所以等价于n=2 时q(q+1)-2 ≤0,所以(q+2)(q-1) ≤0,所以-2 ≤q≤1,所以取0＜q≤1. 当-1 ≤q ＜0 时,得qn-1[qn-1(q+1)-2]≤0.

当n为奇数的时候, 得qn-1(q+1)- 2 ≤0, 明显成立, 当n为偶数的时候, 得qn-1(q+1)- 2 ≥0, 明显不成立. 故当-1 ≤q ＜0 时, 矛盾, 舍去. 当q ＜-1时, 得qn-1[qn-1(q+1)-2]≤ 0, 当n为奇数的时候,得qn-1(q+1)- 2 ≤0, 明显成立, 当n为偶数的时候,得qn-1(q+1)- 2 ≥0, 恒成立. 所以等价于n= 2 时q(q+1)-2 ≥0,所以(q+2)(q-1) ≥0,所以q≤-2 或者q≥1,所以取q≤-2.

某工程位于苏南某城市的城区，场地拟建8幢高层建筑，周围是多层商业用房，地下车库贯通整个工程。工程总建筑面积约21万m2，地下车库面积为32 500 m2。地下室平面如图1所示。拟建场区下伏的各岩土层以粉质黏土和粉土为主，浅层部位普遍伏有较大厚度的淤泥质黏土等软弱土层，故该场区的地基稳定性较差。

综上所述,q ∈(-∞,-2]∪(0,+∞).

该题不仅对进行了分类讨论,并且对q的奇偶性也做了一系列讨论,讨论n的奇偶性是高考大题中高频题目,其解题方法通常运用了分类的思想,将项数n分奇数偶数进行讨论,在所有讨论结束以后,再将结果统合得到最终答案. 这样有利于锻炼学生分类思想的形成,以及大幅度提到了学生的解题效率,能使学生有一个更为清晰的思路,理清n与通项以及通项和之间的关系.

3 不等式题目中运用分类思想

不等式问题是当前高考考察的重点内容之一,对学生的逻辑思维能力的考察较为常见,而题目一般多为线性规划类的问题, 而在这类问题中学生首先要求出所给的区域面积,然后再对区域进行平移来求取最大最小值. 这样既能有效的解决问题,又能保证问题答案的准确性. 例如全国1 卷理科第13 题.

分析该题已知三个不等式,让求z的最大值,这里只需要通过数形结合的方法画出这三个不等式所包含的区域,之后画出x+7y=0 的图像,并且向右平移到该区域的边缘即可得出最大值.

解如图1 所示,当直线x+7y=0 平移到A点时,z值最大,将A点代入z中可以求得最大值为1.

图1

该题就是分类讨论三个不等式所包含的区域,通过数形结合求出所围出的区域, 使思路更加的清晰, 提升学生的解题效率同时也方便了后续问题的解答. 可见不等式题目中还会涉及其他种类的问题,但是万变不离其宗,运用分类讨论思想掌握了解题的关键核心点,可以有效看清问题的本质,这也提醒了当今的教师,着重培养学生分类思想是非常重要的.

对，你说得对，我应该采取一些其他的办法。扔石子儿，或者把手高高地举起来晃动，这些办法都行。这样才有可能引起他们的注意。

4 结语

分类思想是高中数学解题中的重要数学思想,教师在进行解题教学中,应该从分类的标准、原则出发,从不同题型的解答出发,从合作讨论出发,展开分类思想的应用,而促进高中生数学解题效率的提升,也促进高中数学解题教学效率的提升. 高中生在解决数学习题中,特别是数列问题、不等式问题以及函数问题时,分类讨论这一思想能够使我们解题思路变得更加清晰,对问题的考虑更加全面,使高中生解题的正确率大大提高. 同时,涉及到分类思想的问题难度偏大,这也说明教师要在课堂中把握难点的讲解,一定要让学生意识到分类讨论思想的重要性,并充分理解消化这种思想,可以将其灵活地运用到解题过程中. 作为高中数学思想中最为重要的一种,能够帮助学生建立良好的数学逻辑思维,有效的提升他们的数学成绩.