传承经典 凸显本质——2022 年新高考Ⅰ卷第21 题的探究

广东省佛山市乐从中学(528315) 林国红

一、试题呈现

设直线l的方程为y=kx+m. 将直线l与双曲线C联立得: (2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0. 从而有

试题主要考查双曲线的标准方程,直线的斜率与直线方程,直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线中的定值,三角形的面积等知识; 在数学思想方法方面主要考查转化与化归,数形结合等. 综合考查考生逻辑思维、推理论证及运算求解等方面的能力,试题的思维过程和运算过程体现了能力立意的思想,较好地体现了解析几何中核心内容和基本思想方法的考查. 本题对于考生运用所学知识,寻找合理的解题策略以及推理论证和运算能力有较高的要求.

下面仅对问题(1)进行解答与探究.

当m+2k-1 = 0,即m= 1-2k时,直线l的方程为y=kx+1-2k=k(x-2)+1,此时直线l过点A(2,1),不符合题意,故m+2k-1̸=0. 所以k+1=0,即k=-1. 所以直线l的斜率为-1.

评注 本解法通过联立直线与双曲线方程,利用韦达理及直线斜率的定义进行求解. 运算量虽不小,但方法是解析几何中的常用方法,这种通性通法在数学解题中有重要作用.所以在平时的教学中要注重一般性的解题规律和方法(即通性通法),要重视知识的生成过程,尽量创设问题情境引导学生探究知识,培养学生分析问题、解决问题的能力.

二、解法探究

设P(x1,y1),Q(x2,y2). 由题设可知直线l的斜率存在,

评注 本解法采用齐次化的解法,代数变形较为简单,运算量较少,解题过程更为简洁. 齐次化法在解决两直线斜率之和(积)相关的定值定点问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果.

三、问题的提出

解答完试题的问题(1)后,思考:

问题1 在试题的问题(1)中,若将点A(2,1)改为其它点,则直线l的斜率为多少?

问题2 在试题的问题(1) 中, 若将点A(2,1) 改为A(x0,y0)(y0̸= 0), 并将双曲线一般化, 则直线l的斜率为多少?

问题4 在问题2 或问题3 中,若将双曲线改为椭圆或抛物线,又有什么结论?

四、试题的背景探析

要回答上述问题,可以从试题的命题背景进行分析.

引理1 若两条直线与二次曲线Γ :ax2+by2+cx+dy+e= 0(a ̸=b)有四个交点,则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.

引理1 的证明请查阅文献[2].

推论A,B,C是圆锥曲线上的三点,且点A处的切线斜率为k,则直线AB,AC的斜率之和为0 的充要条件是直线BC的斜率为-k.

证明 必要性: 设A,B,C,D是圆锥曲线上顺序的四点,若kAB+kCD=0,由引理1,可知A,B,C,D四点共圆,且kAD+kBC= 0. 当A,B,C,D四点退化为三点A,B,C,即点A与点D重合时, 则kAD是点A处的切线斜率, 即kAD=k. 此时,k+kBC=0,即kBC=-k.

可见,试题的问题(1)是以两个引理及推论为背景命制的.

五、试题的推广

六、追本溯源

七、结束语

1. 要关注高考的热点. 解析几何中的定点、定值问题是高考的高频考点,常考常新. 如今年考查直线的斜率为定值;2021 年新高考Ⅰ卷的第21 题考查两直线斜率之和为定值;2020 年新高考Ⅰ卷(山东卷)第22 题考查直线过定点及求定值. 因此要重视热点问题的复习,注意题型与解法的归纳分类,并通过有效的训练去掌握与提高.

2. 要重视高考试题的解读. 高考试题是精心之作,每年的高考题在命题角度、题型、难度等方面都进行了充分考量,是知识、能力和思想方法的载体,具有典型性、示范性和权威性. 高考试题除了具有测试与选拔功能外,还具有良好的教学功能,要了解高考动向、把握高考脉搏,高考试题的研究是重要的路径. 所以在复习中,要加强高考题的渗透,通过高考真题的训练体会命题思想,善于作解后反思,方法的归类,并对试题进行挖掘、拓展、引申,扩大高考题的辐射面,从而实现高考试题功能的最大化、最优化.