对一道二元方程条件下最值试题的探究

张志刚

(山东省宁阳县复圣中学 271400)

1 试题呈现

本题是二元方程约束条件下的二元函数最值问题，试题设计简洁清新，构思别具匠心，解法灵动多变，饱含数学思想，凝聚命题专家的智慧.同时，试题涉及知识点较多，综合性较强，呈现出一定的综合性与选拔性，需要较高的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

2 初等解法

在高中阶段，解决此类问题可从方程有解、函数最值(三角代换或导数)、不等式(如基本不等式、柯西不等式等)等视角解答.其中，消参减元转化是解题的基本原则，即把双变量问题转化为一元函数或方程问题，再辅以转化与化归、函数与方程、分类讨论、换元法、配方法等典型数学思想和方法，妙趣横生.

2.1 利用基本不等式

解法1因为a>0,b>0，ab=1，

2.2 借助消参减元，转化为一元函数最值问题

解法2因为a>0,b>0,所以a+b>0.

令f′(t)=0，得t=4.

当0

当t>4时，f′(t)>0，f(t)单调递增，

所以当t=4时,f(t)取得极小值f(4)=4.

2.3 利用二次方程有实数解，判别式大于等于零

解法5因为a>0,b>0,所以a+b>0.

3 命制背景

本题命制的背景是拉格朗日乘数法求极值问题.其基本原理是：设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x，y)=0，为寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点，先构造拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中λ为参数，求L(x,y)对x，y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立，即

由上述方程组解出x，y及λ，如此求得的点(x,y)即是函数z=f(x,y)在附加条件φ(x，y)=0下的可能极值点.若这样的点只有一个，可确定此点即为所求的点.

其几何意义是：设给定目标函数为f(x,y)，约束条件是φ(x，y)=0.如图1示，曲线L为约束条件φ(x，y)=0，f(x,y)=C为目标函数的等值线族.在f(x,y)，φ(x,y)偏导数都连续的条件下，目标函数f(x,y)在约束条件φ(x，y)=0下的可能极值点M(x0,y0)必是目标函数等值线族中与约束条件曲线的切点.

图1

拉格朗日乘数法的优点有二：一是把目标函数和等式约束统一到一个拉格朗日函数中；二是将条件极值问题转化为无条件极值问题，即通过引入拉格朗日乘数将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有n+k个变量的无约束优化问题.另外，L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中φ(x，y)=0，求z=f(x,y)的极值点就是求L(x,y)的极值点，两者的极值是等价的，且与λ无关.

应用拉格朗日乘数法本题解答如下：

由于a>0,b>0，且ab=1，令

4 变式研究

4.1 置换结论

解析利用基本不等式易求得变式1-4的答案分别是：5,5,17,17.

4.2 变更条件

4.3 交换条件结论

所以ab的最小值为1.

5 推广探究

证明由于a1>0，a2>0，…，an>0，且a1a2a3·…·an=1，则

由已知条件及基本不等式,得

显然，当n=2时，推广3即特殊化为2020年高考天津卷第14题；当n=3时，推广3即特殊化为推广2.与上述推广中的代数式结构特征类似，我们联想到以下的不等式：

推广3已知a>0，b>0，c>0，且abc=1，则

证明留给读者完成.