一道2021年安徽省冬季联赛题的解法探究与推广

栾 功

(广西南宁市第三中学 530021)

1 试题呈现

(1)求椭圆C的标准方程；

试题第(1)问考查了椭圆的长轴、离心率等简单的几何性质，体现了试题的基础性；第(2)问以圆锥曲线共轭弦性质为背景设置了与动直线有关的定值问题，综合性强，对学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养有较高要求，值得深入探究.

2 解法探究

则x1+x2=-2t，x1x2=2t2-4，Δ=4t2-4(2t2-4).

由于直线l与椭圆C相交于A,B两点，因此Δ>0，即t∈(-2,0)∪(0,2)，此时，直线PA,PB的斜率都存在，所以，要证tanα+tanβ=0，即证kPA+kPB=0.

所以(1-y1)(2-x2)+(1-y2)(2-x1)=x1x2+(t-2)(x1+x2)+4(1-t)=0.

所以kPA+kPB=0.即tanα+tanβ=0.

点评证法1把待证问题转化为求证两直线PA,PB斜率之和为0，从而几何问题通过坐标运算转化为代数问题，既展示了坐标法的魅力，又体现了数形结合的思想.继续探究，如图1，发现当Δ=0时，t=-2或t=2，此时直线l与椭圆C相切，点P坐标为(-2,1)或(2,-1)，直线l的斜率与椭圆C在点P处的切线的斜率互为相反数，这一发现为进一步探究试题本质提供了思路.

图1

证法2 设直线PA的参数方程为

(1+3sin2α)t2+4(cosα+2sinα)t=0.

即2(yB-yA)=xB-xA.

所以tB(2sinβ-cosβ)=tA(2sinα-cosα).

化简,得sin2α=sin2β.

由于0<α<π，0<β<π，且α≠β，所以α=π-β.

从而tanα+tanβ=0.

点评证法2从直线PA与PB的倾斜角入手，自然联系到应用直线的参数方程解题，亮点在于对坐标的处理，借助参数的意义和三角恒等变换，整个运算过程一气呵成，简洁明了.

整理,得x′2+4y′2+4(x′+2y′)=0.

设直线AB的方程为mx′-2my′=1，

代入上式,得

x′2+4y′2+4m(x′+2y′)(x′-2y′)=0.

即(1+4m)x′2+(4-16m)y′2=0.

两边同时除以x′2,得

①

点评证法3通过平移变换巧妙地把椭圆上的定点P转化为坐标原点P′，变换后两直线P′A′,P′B′的斜率恰好是点A′,B′的坐标比值，从而通过齐次化处理，把两直线斜率之和问题转化为韦达定理根与系数的关系，解答简洁明了，相比通性通法中运算量大的特点，平移变换后齐次化处理很大程度上避免了繁杂的运算，是解答过定点两条动直线斜率之积、之和问题的利器.

②.

(x+2y-4)(x-2y+m)=0.

③

切线x+2y-4=0上任取异于点P的一点，不妨取x=0，y=2代入②得

λ=-(1+2k1)(1+2k2).

比较方程②③中x2，y2的系数,得

从而k1+k2=0.即tanα+tanβ=0.

点评证法4“曲线系方程法”相比前面证法，站在更高的观点，为我们解决这类解析几何问题提供了新视角，但也有一定的局限性，在具体的解题实践中，还需根据自身实际，选择适当的方法.

3 推广探究

著名数学教育家G·波利亚说“分解和重组是思维的重要活动”，因此我们有必要深入到试题的细节中去，通过逆向变换，亦或者改变曲线背景提出新的问题，以探究试题内在规律，培养学生思维品质.

由kPA+kPB=0,得

分别整理,得

4y1y2+4y1-4y2=x1x2+2x1-2x2.

④

4y1y2+4y2-4y1=x1x2+2x2-2x1.

⑤

④-⑤,得8y1-8y2=4x1-4x2.

当直线PA,PB的斜率互为相反数时，我们发现直线AB的斜率与椭圆C在点P处的切线的斜率互为相反数，也就是说点P的位置唯一决定了AB的斜率，反过来AB的斜率也唯一决定点P的坐标.

则变换后的椭圆方程为

整理,得b2x′2+a2y′2+2x0b2x′+2y0a2y′=0.

设直线AB的方程为mx′+ny′=1，

代入上式,得(b2+2mx0b2)x′2+(a2+2ny0a2)y′2+2(nx0b2+my0a2)x′y′=0.

(a2+2ny0a2)k′2+2(nx0b2+my0a2)k′+b2+2mx0b2=0.

⑥

由题意知，kP′A′,kP′B′是方程⑥的两个根，且kP′A′+kP′B′=0，故nx0b2+my0a2=0.

变式2 如图2，点P(x0,y0)(y0>0)为抛物线C:y2=2px(p>0)上一定点，A(x1,y1)，B(x2,y2)为抛物线C上两动点，若直线PA与PB斜率存在且互为相反数，求证：直线AB的斜率是非零常数.

图2

⑦-⑧,得(y0-y1)(y0+y1)=2p(x0-x1).

即有y1+y2=-2y0.

⑨-⑧,得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).

则变换后的双曲线方程为

整理,得4x′2-y′2+16x′-4y′=0.

⑩

设直线l′的方程为px′+qy′=1(其中p=4q)，代入⑩式,得

4x′2-y′2+(16x′-4y′)(px′+qy′)=0.

即(4+16p)x′2-(1+4q)y′2=0.

两边同时除以x′2,得

由于平移变换后点Q的坐标变为Q′(0,0)，故kQ′A′，kQ′B′是方程的两个根.

由于平移变换下不改变直线的斜率，

所以k1+k2=0.

推广2 设点P(x0,y0)是对称轴平行于坐标轴的定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C上一定点，A,B是C上两个动点，若直线PA，PB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率存在时为定值，等于曲线C在点P处切线的斜率的相反数.

推广2也称为圆锥曲线共轭弦性质，以其为背景命制的高考试题和竞赛试题屡见不鲜，像这样通过挖掘改造著名数学问题来命题已成为近年高考数学圆锥曲线压轴题命制的新趋势，这也启示一线教师在教学中应充分利用这些素材，引导学生探究试题解法，剖析试题本质，从而培育学生的思维品质，落实学科素养.