基于Rife-Vincent自乘-卷积窗三谱线插值的电力谐波参数估计

雷可君，李明皓，汪旭明，陈乾明，张志威，杨 喜

(吉首大学 信息科学与工程学院，湖南 吉首 416000)

电力谐波的高精度检测是治理谐波问题的重要环节，其对维护电力系统安全运行具有重要价值[1-4].快速傅里叶变换(fast fourier transform,FFT)因其原理简单且便于嵌入式系统实现而被广泛地应用于谐波分析[5-7].但电网中的信号多为动态信号，很难对其进行整周期截断及同步采样，若直接利用FFT进行谐波检测将会产生频谱泄漏和栅栏效应，进而无法精确地计算出谐波参量[8].故在信号处理过程中，通常给原始信号进行加窗处理以抑制频谱泄漏，同时利用谱线插值的方法克服栅栏效应的影响[9].在前期的加窗过程中，常用的窗函数有Hanning窗、Hamming窗、Blackman窗、Nuttall窗等；后期的谱线插值过程中，常用的方法有单谱线插值、双谱线插值[10-12]、三谱线插值[13]及四谱线插值[14].这些利用经典窗函数与谱线插值相结合的方法在一定程度上降低了频谱泄漏和栅栏效应带来的影响，提升了检测精度，但由于经典窗函数的旁瓣性能有限，频谱泄漏没有得到很好的抑制，检测精度还有待提高.为此，文献[15-17]提出了三角窗自卷积窗和Hanning自卷积窗，文献[18]提出了Hanning自乘积窗(RVSM)，文献[19]提出了Blackman-Harris自乘积窗，这些窗函数的旁瓣性能都有一定的提升，进一步改善了检测精度.但是，这些窗函数随着卷积阶数和乘积阶数的提高，算法的计算复杂度也随之提高.与此同时，由于所选的基础窗函数旁瓣性能一般，限制了检测精度的进一步提高.

因此，文中利用具有良好旁瓣衰减特性的5项Rife-Vincent(Ⅰ)窗(简称RV-Ⅰ窗)提出了一种新的Rife-Vincent自乘-卷积窗(简称RVSMC窗).在此基础上，基于三谱线插值和最小二乘拟合方法，给出谐波参数(幅度、频率、相位)的解析计算表达式.最后，通过对含弱幅值的复杂谐波、间谐波及基波频率变动等典型应用场景进行仿真分析.

1 RVSMC窗函数及其频域特性

1.1 RVSMC窗的构造

非整周期截断及非同步采样造成的频谱泄漏会降低电力谐波检测的精度，而通过对信号在时域进行加窗处理可以有效地抑制频谱泄漏带来的影响.一个合适的窗函数通常要求其旁瓣峰值尽可能低且衰减速度快，同时其主瓣宽度尽可能窄.RV-Ⅰ窗是一种组合余弦窗，其旁瓣峰值为-74.5 dB，旁瓣衰减速度为30 dB·oct-1，具有优良的频谱衰减特性[20].其表达式为

(1)

式中：m=0，1，…，M-1，M为窗函数的长度；al为窗函数系数，其具体值为a0=1，a1=1.6，a2=0.8，a3=0.228 57，a4=0.028 57.

为进一步降低旁瓣峰值，提高检测精度，文中提出一种基于RV-Ⅰ窗的自乘-卷积窗，其表达形式为

wRVSMC(n)=wRVSM(m)×wRVSM(m)，

(2)

式中：n=0，1，…，N-1，N为RVSMC窗的长度；wRVSM(m)表示1次RV-Ⅰ自乘积窗，其定义为

wRVSM(m)=wRV-Ι(m)×wRV-Ι(m)，

(3)

式中：wRV-Ι(m)由式(1)决定，将其代入式(3)不难得到：

(4)

式中：b0=2.6265302449，b1=4.6693862449，b2=3.268568，b3=1.782852，b4=0.742852，b5=0.228568，b6=0.04897812245，b7=0.0065302449，b8=0.00040812245.

需要指出的是，文中所提出的基于RV-Ⅰ窗的自乘-卷积窗只是利用了1次乘法和1次卷积运算，其目的在于兼顾算法复杂度和检测精度要求.实际上，所提方法可进一步推广到任意次数的乘法和卷积运算，从而构造出更为复杂的RVSMC窗，以得到更高的检测精度，但其实现复杂度也随之上升.另外，在实际处理过程中，RVSMC窗函数序列的长度N=2M，其可由式(2)得到的序列在其末尾补一个0得到.

1.2 RVSMC窗的频域特性

利用离散傅里叶变换的性质，由式(4)可得到wRVSM(m)对应的窗谱为

(5)

式中：ω为角频率；WR(ω)为矩形窗的频谱函数，即

(6)

根据离散时间序列的时域卷积定理，由式(2)可以得到RVSMC窗的谱函数为

(7)

令ω=2πk/N，可以得到离散化的窗谱函数为

(8)

将式(6)代入式(8)，经过计算可以得到RVSMC窗的精确谱函数为

(9)

(10)

这里，i=0，1，…，8；d，d′为任意整数.在式(10)中令d=1，不难求得RVSMC窗谱函数右侧首个零点值为36π/N，故RVSMC窗的主瓣宽度为72π/N.

图1给出了当M=64时RV-Ⅰ窗，RVSM窗及RVSMC窗3种窗函数的幅频特性图.

图1 RV-Ⅰ、RVSM和RVSMC窗幅频特性图

由图1可看出，在3种窗函数中，所设计的RVSMC窗具有最佳的旁瓣性能，其旁瓣峰值约为-250 dB，远远低于RV-Ⅰ窗和RVSM窗的-74.5和-126.8 dB，且其具有更快的旁瓣衰减速度.因此，RVSMC窗能更加有效地抑制频谱泄漏的影响.

2 基于RVSMC窗的三谱线插值谐波参数估计

为分析方便，假设待检测的信号为

x(t)=A0sin(2πf0t+φ0)，

(11)

式中：A0、f0、φ0分别为信号的幅值、频率和相位.对x(t)进行离散化可得

(12)

式中：fs为采样频率，n=0，1，…，N-1，N为采样点数.对x(n)加RVSMC窗并进行离散时间傅里叶变换后可得

e-jφ0WRVSMC(ω+ω0)]，

(13)

式中：ω0=2πf0/fs；WRVSMC(ω-ω0)可由式(7)得到.由于负频率部分对谱序列分析的影响很小，故在实际处理过程中通常只利用其正频率部分[21]，相应地有

(14)

令ω=2πk/N，ω0=2πk0/N，将X(ω)离散化可得

(15)

由于非同步采样使得真实频率通常偏离峰值频点，为此提出一种基于三谱线插值的方法来获得真实谱线的位置k0.设kmax表示信号峰值谱线位置，k1和k2分别表示峰值谱线左右两边相邻的2根谱线.以上3根谱线对应的幅值分别为y1=|X(k1)|、y2=|X(kmax)|和y3=|X(k2)|.

(16)

注意到x很小时,有sinx≈x，同时注意到N=2M，式(16)可进一步简化为

(17)

令kh为一整数，引入参数ε=k0-kh，ε∈[-0.5,0.5].当kh=kmax时有kmax-k0=-ε，则由式(15)可知：

(18)

由(17)可得

(19)

当kh=k1时,有k1-k0=-ε-1，相应地可得

(20)

当kh=k2时，有k2-k0=-ε+1，相应地可得

(21)

(22)

式(22)为ε的函数，为分析方便将其标记为γ=

ε=4.507340610433650γ-

0.298287182918183γ3+

0.039511226381877γ5-

0.006511111851637γ7,

(23)

则待估计的谐波信号频率的计算公式为

f0=k0Δf=(kmax+ε)fs/N.

(24)

结合式(15)和(17)可得相位的计算公式为

(25)

在三谱线插值过程中同时利用了y1、y2和y3进行参数的估计，同时注意到y2对应于幅值最大的谱线，其对参数估计精度的影响最大，故在实际处理过程中，对其赋予更大的权值2，而y1、y3对应的权值均设置为1，以进一步提高检测精度.由式(15)可得

(26)

由此可以得到谐波幅度A0的估计表达式：

(27)

考虑到式(27)中分母为ε的复杂函数，不利于实时计算，故仍采用最小二乘法对其进行拟合以得到简化的多项式表达.

为此引入如下函数：

(28)

利用类似于求解式(23)的方法可以得到h(ε)的多项式拟合表达式为

h(ε)=0.298 430 792 125 637+

0.016 561 717 105 620ε2+

0.000 468 018 884 915ε4+

0.000 009 046 732 952ε6，

(29)

相应地，幅值修正公式为

A0=N-2(y1+2y2+y3)h(ε).

(30)

为了分析方便，上面只是以单次谐波为例给出了参数估计的方法.当存在多次谐波时，只需依次搜索谐波信号谱序列中最大的谱线，然后利用上述方法即可依次计算得到各次谐波的参数.

3 算法仿真

3.1 含弱幅值的复杂谐波信号的仿真分析

为验证所提算法的有效性，对含有21次谐波成分的复杂信号进行参数估计，设该信号表达式为

(31)

式中：基频f0=50.1 Hz；采样频率fs=2500 Hz；采样长度N=2048；h为谐波次数；Ah为谐波的幅值；φh为谐波的相位，相关参数设置见表1.对信号加文中提出的RVSMC窗、4项3阶Nuttall窗、Hanning自乘积窗、Hanning自卷积窗并基于三谱线插值方法进行谐波参数估计，仿真结果如图2所示.图中Nuttall表示4项3阶Nuttall窗，HSM-4表示4阶Hanning自乘积窗，HSC-4表示4阶Hanning自卷积窗.

表1 谐波信号参数设置

图2 复杂谐波幅值、频率和相位估计相对误差

由图2可知，在同等条件下RVSMC窗对各次谐波幅值和频率的检测相对误差绝对值的范围分别为10-10～10-13和10-14～10-16，而对相位的检测相对误差绝对值范围通常为10-10～10-14.总的来说，幅值检测精度相对于HSM-4提高了2～3个数量级，相对于HSC-4提高了1～2个数量级，相对于Nuttall窗则提高了2～4个数量级；频率检测精度相对于HSM-4提高了1～4个数量级，相对于HSC-4提高了1～3个数量级，相对于Nuttall窗提高了3～5个数量级；相位检测精度相对于HSM-4提高了1～5个数量级，相对于HSC-4提高了1～4个数量级，相对于Nuttall窗提高了2～6个数量级.说明所提新方法降低了幅值、频率及相位参数估计的相对误差，有效地提高了检测精度.其中频率相对误差图中未显示的点代表其误差为0，分别为3、5、12及17次谐波.另外，本算法对弱幅值谐波参数的检测精度也较高.以20次谐波为例，新方法对幅值、频率、相位检测的相对误差分别为-8.14×10-11、2.27×10-16、3.26×10-11.

3.2 间谐波试验

电网在实际运行中不只会产生整次谐波，也会产生间谐波.间谐波的频率为基波频率的非整数倍，它是使电压发生闪变的主要原因，因此对间谐波的高精度检测也很重要.为验证本算法对间谐波参数检测的有效性，利用RVSMC与其他几类窗函数进行试验对比，仿真采用一个由基波和5种间谐波组成的复合信号，信号模型为

(32)

式中：i为谐波次数；Ai为谐波的幅值；φi为谐波的相位.间谐波的幅值、频率和相位设置见表2，仿真结果如表3-5所示.由表3-5可知，RVSMC能够准确检测出间谐波的幅值、频率及相位参数.相对于Nuttall、HSM-4和HSC-4窗，幅值的相对误差数量级降低至10-11～10-12，频率的相对误差通常降低至10-15～10-16，相位的相对误差降低至10-12～10-14.相较于其他几类窗函数，新方法有效地提高了间谐波的参数检测精度.

表2 谐波信号参数设置

表3 间谐波幅值相对误差

表4 间谐波频率相对误差

表5 间谐波相位相对误差

3.3 基频变动试验

基频的变化会导致谐波频率的不确定性，从而降低谐波参数检测的精度.为此本试验考察新方法在基频变动情况下的检测性能.GB/T 15945—2009规定电力系统基波频率偏差最大范围为±0.5 Hz，故仿真中设基波频率波动的范围为49.5～50.5 Hz，变化步长为0.1 Hz，这里仍采用式(31)的21次谐波复杂信号进行试验分析.各次谐波的参数估计误差如图3所示.

图3 基频变动时幅值、频率和相位估计相对误差

由图3可知，新方法对幅值检测的相对误差绝对值不超过5×10-11，频率相对误差不超过9×10-14，相位相对误差绝对值不超过6×10-10，谐波参数分析精度均满足要求.

4 结 论

设计了一种Rife-Vincent自乘-卷积窗函数，相比于经典窗，该窗具有很低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰减速度.在此基础上，结合最小二乘和三谱线插值方法，给出了基于Rife-Vincent自乘-卷积窗三谱线插值谐波参数估计算法.仿真试验结果表明：与基于经典Nuttall窗、Hanning自乘积窗和Hanning自卷积窗的算法相比，在复杂信号谐波与间谐波的幅值、频率和相位的检测方面，基于Rife-Vincent自乘-卷积窗三谱线插值谐波分析算法的检测精度有了明显提高，而且该算法能够克服基波频率波动带来的影响，在分析动态信号时仍具有较高的检测精度.