充填作用下顶板底部单裂隙扩展研究①

王春元，刘志祥，张双侠

（中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙 410083）

随着工商业的快速发展，海底资源成为人类开发的目标之一，而海底开采的主要挑战是上部海水通过开采形成的岩体裂隙灌入，可能造成采矿事故。针对岩体中的裂隙扩展，主要将其转化为压剪或拉剪应力状态下的扩展进行研究［1］，而对于更加复杂受力状态下的裂隙起裂，多采用扩展有限元等数值模拟方法进行研究分析［2⁃7］。目前对于采动下顶板裂隙的扩展过程鲜有研究，尤其是针对废石充填的采场。基于此，本文通过分析顶板与充填体在顶板沉降过程中的不同力学作用状态，将顶板与充填体的作用分为2个阶段，第1阶段，岩梁刚与充填体接触尚未有力地传递或充填体对岩梁作用微小，此时岩梁底部裂隙短小，张开位移小，裂隙面两侧应力对称，通过岩梁内应力场特性分析，构建力学模型1，得到起始裂隙的扩展方向；第2阶段，岩梁与充填体充分接触，充填体阻碍岩梁沉降，此时裂隙张开位移增大，裂隙面应力不对称，分析构建了裂隙发生转向的临界条件，得到了裂隙垂直扩展长度与裂隙位置之间关系的模型2。最后为了说明所建模型的合理性，以三山岛金矿新立矿区为研究背景，采用扩展有限元法，分析了顶板底部单裂隙垂直扩展长度和裂隙局部应力场分布变化规律。

1 力学模型分析

充填体与顶板相互作用系统如图1所示。为了简化问题，本文首先提出以下假设：①假设在起始阶段，充填在裂缝扩展前刚与顶板接触，尚没有力的传递，此段时间前假设顶板未发生沉降，充填体完全接顶，忽略顶板自重；②顶板的断裂为弹脆性断裂，且断裂服从最大周向应力判据；③充填体如弹簧支撑为完全弹性体，不考虑充填体的塑性变形。因为矿体厚度相对于矿房长度较小，所构建的充填开采几何模型可以作为平面应力来处理。

图1 充填体与顶板岩梁作用实体图

1.1 模型1

考虑到顶板两端只允许顶板转动，可将充填顶板模型简化为简支梁处理，由于起始充填体与顶板间没有力的传递，充填对整个梁体变形作用微小，可不予考虑。此问题就简化为弹性梁在均布荷载下的变形问题，如图2所示。弹性力学理论［8］，可得：

图2 无充填作用下顶梁受力简图

由式（1）可以得出，在长度远大于深度，即l≫h时，弯曲应力σx的第一项与同阶大小，为主要应力；切应力τxy与同阶应力，为次要应力，而σy和弯曲应力σx的第二项均与q同阶大小，为更次要应力。与材料力学结果比较，忽略高阶项，可得：

从式（2）可以看出，梁体内的应力既随梁体跨度方向变化，又随宽度方向变化。由工程经验可知，造成裂纹扩展的主要是弯曲应力σx，此外，裂隙的扩展还与周围应力场分布密切相关。

考虑到裂隙起始一般处在梁体底部，裂隙尺寸相对岩梁可认为足够小，起始裂隙闭合，可认为裂隙的存在对原场应力影响很小，裂隙周边拉伸和剪切应力均匀分布，且裂隙两侧拉伸应力大小相等，方向相反，因此可将裂隙周围应力场向裂隙面转化，转换后的裂隙在拉剪组合应力下扩展。由于岩梁宽度远大于起始裂隙长度，可以将其视作无限大，建立裂隙扩展模型（模型1）如图3所示。

图3 裂隙扩展模型1

假设梁体内的竖向应力只与竖向坐标有关，根据梁体内的应力分布已知，可将两端的应力向裂隙面切向和法向分解，分解公式如下：

式中α为裂隙面法向与x轴的夹角，，将其代入式（3），求得：

由于τyxcosβsinβ和τxycosβsinβ在裂隙面法向上大小相等、方向相反，相互抵消，即得：

由文献［9］可知：

考虑到裂隙尺寸相对于岩体尺寸很小，根据经典断裂理论，裂纹尖端的周向应力场表达式如下：根据最大周向应力准则，即得：

当θ＝±π时，（τrθ）θ＝±π≠0。

设θ＝θ0，满足：

由式（9）可以看出，对于任意位置的微小裂隙，裂隙的扩展角度不但与裂隙初始角度有关，还与应力场分布有关。

将式（2）代入式（9），可得：

即当裂隙长度微小，且处在梁体底部边缘时，剪切应力趋向于零，裂隙扩展方向仅与初始裂隙角有关，而与应力场大小和位置无关。当β＝90°、θ0＝0时，裂隙垂直梁跨度方向，沿垂直岩梁中心层方向扩展，即沿着垂直拉伸应力方向扩展。

1.2 模型2

考虑到岩梁沉降过程缓慢，与充填体发生紧密接触，即充填反力阻碍岩梁沉降，此时岩梁仍向下沉降，因充填反力与顶板状态有关，顶板的沉降曲线为非线性，下部充填反力荷载q′也应非线性分布，在梁跨中部达到最大，此外，由材料力学知识可知，无充填体时，岩梁挠度曲线为三次幂函数分布，且应满足边界条件，关于y轴对称，考虑到在岩梁两端上覆荷载主要由矿柱承担，即岩梁两端充填荷载应为0，当存在充填体作用时，由文献［10］可知，此微分方程的一般解应具有四阶以上的导数，而此方程只能说明岩梁平衡状态，无法描述岩梁缓慢沉降过程，故将岩梁位移假设为余弦函数分布，其表达式应为：

式中k≥0，k与充填体参数有关，当岩梁与充填体不发生接触时，k＝0，建立力学模型如图4所示。

图4 充填作用下顶梁受力简图

充填体的存在相当于对覆岩荷载在岩梁每一点处的弯矩进行了削弱，因为岩梁沉降位移相比岩梁跨度较小，变形可认为是小变形，岩梁为线弹性体，可以进行载荷叠加，即等效载荷为：

采用材料力学的方法得到剪力和弯矩：

取梁厚度b＝1，计算惯性矩得：

计算矩形梁截面上距中心轴为y的横线以外面积对中心轴的梁截面静矩为：

计算任意梁截面上的正应力σx和切应力τxy为：

经过整理，得：

岩梁刚发生沉降时，充填反力对岩梁的作用微小，可近似认为充填反力不起作用，裂隙扩展模型仍可采用模型1，但当充填反力对岩梁的阻碍不可忽略时，裂隙已扩展足够长度，不可将其视为足够小，此外，裂隙在拉剪组合应力下已有一定的张开位移，裂隙面两侧所受荷载不对称。

由模型1的推导分析可知，垂直裂隙的起始扩展与应力场和位置无关，当岩梁发生沉降后，随着裂隙张开位移增大，裂隙面两侧应力分布不再对称，裂隙扩展方向将发生变化，此时需建立非对称荷载下的裂隙扩展模型。由于此时裂隙长度不可忽略，裂隙面两侧应力分布非均匀，需要从宏观尺度建立模型进行分析。

考虑到岩梁的对称性，只对左侧岩梁进行分析。由于岩梁上裂隙的存在只对岩梁局部应力场有影响，梁上离裂纹为W的两截面上的外力相同，需将裂隙面左端荷载向裂隙左面简化，裂隙面右端荷载向裂隙右面简化，且考虑到裂隙面已有一定张开位移，需将左端弯矩和剪力向左侧裂隙面简化，右侧弯矩向裂隙面右侧简化，分析非对称荷载下的裂隙转向的原因，建立的裂隙扩展模型（模型2）如图5所示。

图5 裂隙扩展模型2

左侧面的应力分布为：

右侧面的应力分布为：

由于岩梁沉降过程比较缓慢，可认为覆岩荷载是逐渐增加的，将其视作准静力过程，对称荷载下拉剪裂隙沿与拉应力垂直方向扩展，但当覆岩荷载增加时，裂隙张开位移增大，裂隙面两侧荷载不再对称，此时裂隙已有较大张开位移，控制裂隙方向的拉伸荷载在裂隙面两侧不对称，对于左侧岩梁，M2＞M1，即左侧拉伸应力大于右侧，由荷载叠加原理可知，M2中与M1相等的部分造成裂隙继续沿与垂直拉伸荷载方向扩展，M2中大于M1的部分造成裂隙向拉伸荷载较大的一侧转向，考虑到裂隙在受力大于材料断裂韧性后就有张开位移，而裂隙何时发生转向是问题的关键，本文认为当裂隙两侧应力差值造成的应力强度因子刚好等于岩石断裂韧性时，裂隙发生转向，朝着拉伸应力较大的一侧偏转。

非对称荷载下单裂纹的应力强度计算公式为：

式中p－（τ），p＋（τ），q－（τ），q＋（τ）分别为裂隙面两侧的法向及切向荷载。

由于本文所建立的坐标系y轴位于梁体中心，取裂隙面中心应力并代入积分，得：

所以裂隙发生转向的条件为：

其中：

考虑到岩梁跨度很长，高度很大，所取W使之离裂隙足够远，认为此处的应力场不会受到裂隙的影响，此处，可认为W为常数；k反映充填体刚度大小，k值越大，充填体刚度越大；Fσ为修正系数。

由式（26）可以看出，当x绝对值较小，即岩梁中心附近时，裂隙扩展长度越大，即裂隙垂直扩展长度越大，x绝对值较大时，裂隙垂直扩展长度越小。

2 数值模拟分析

以三山岛金矿新立矿区为背景，选取岩梁长度80 m、宽度20 m，充填体高度25 m，两侧矿柱宽度10 m，初始裂隙长度2 m，上部荷载4 MPa，采用最大主应力断裂准则，岩体抗拉强度取3.18 MPa，损伤演化以位移表示，即单元发生0.001 m位移时，即认为断裂，采用扩展有限元法，研究左侧离梁中心底部0 m，10 m，20 m处单裂隙扩展规律。考虑到顶板沉降过程缓慢，采用静力分析法，分析计算得到裂隙扩展形态主应力云图如图6所示。

图6 扩展有限元计算结果

从图6可以看出，裂隙的存在和扩展只对局部应力场产生影响，而对整个岩梁区域应力场影响微小。充填体的存在使岩梁受力状态从横力弯曲到两向受压状态。此外，充填体刚度越大，压缩量越小，岩梁沉降越小，裂隙越早尖灭。

以岩梁左端底部为坐标原点、以岩梁宽度方向为y轴、以岩梁延伸方向为x轴正向建立局部坐标系，采用插件提取裂隙的扩展路径如图7所示。

图7 不同位置处裂隙扩展路径

从图7可以看出，处在梁体中心的裂隙，由于两侧应力对称，裂隙方向不发生改变，垂直中心层扩展；不同位置的裂隙起始都发生垂直岩梁中心层方向的扩展，且越远离岩梁方向，裂隙垂直扩展长度越小，当裂隙在40 m位置处时，裂隙垂直扩展长度达到了8 m；当裂隙在30 m位置处时，裂隙的垂直扩展长度仅2.5 m。随着裂隙张开位移增大，裂隙面右侧应力大于左侧应力，导致裂隙扩展方向偏离原来方向，随着张开位移继续增大，两侧面应力不均衡程度继续增大，导致裂隙扩展角度即与x轴夹角不断减小，裂隙路径越来越平缓。对于离含水层越近的顶板，离岩梁中心越近的裂隙，由于其张开位移大，垂直扩展路径长，更容易与含水层导通，对采场安全的威胁越大；对于远离岩梁中心的裂隙，当顶板高度超过一定距离后，裂隙扩展越加平缓，直至最后接近水平，对安全生产威胁小。

选取40 m处裂隙为研究对象，分析其在扩展中的裂隙周边局部应力场变化，结果如图8～9所示。

图8 不同位置处裂隙扩展路径下的拉伸应力

在起始阶段，由于裂隙闭合或裂隙张开位移很小，裂隙面两侧水平应力最大为4.061 MPa，拉伸应力场几乎对称，剪切应力场两侧存在不对称；当裂隙开始发生转向，裂隙面局部区域右侧拉伸应力场明显大于左侧应力场，而此时裂隙两侧剪切应力场几乎对称，由此得出裂隙转向主要由拉伸应力场的不均匀分布造成；当岩梁沉降，裂隙两侧拉伸应力和剪切应力强度因子小于材料断裂韧度，裂隙停止扩展。

图9 不同位置处裂隙扩展路径下的剪切应力

3 结 论

1）针对充填体与顶板作用下顶梁沉降过程中顶板裂隙扩展进行了较为系统地研究，考虑到起始状态下，顶板尚未与充填体发生力的传递作用，此时任意位置的垂直裂隙都只沿着垂直岩梁中心层方向扩展。

2）当岩梁发生沉降，裂隙张开位移增大，裂隙面两侧应力分布不对称，当裂隙面两侧应力差造成的应力强度因子达到材料断裂韧性时，裂隙扩展方向逐渐发生偏离，朝着拉伸应力较大的方向偏转；且离岩梁中心越近的裂隙，垂直扩展长度越大；越远离岩梁中心的裂隙，垂直扩展长度越小。

3）处在离岩梁中心20 m位置处的裂隙，垂直扩展长度为8 m，处在离岩梁中心10 m位置处的裂隙，垂直扩展长度仅2.5 m，处在岩梁中心的裂隙不发生偏转。越接近岩梁中心的裂隙，垂直扩展长度大，对水流的沿程阻力小，更容易发生突水。

4）在沉降过程中造成裂隙转向的主要原因是拉伸应力场的不均匀分布。