一道2022年数学竞赛题的多种解法与命题背景探究
2022-09-19 10:16虞哲骏沈珂娜
中学数学 2022年9期
虞哲骏 沈珂娜
(浙江省宁波市慈溪中学 315300) (浙江省宁波市镇海中学 315200)
一个好的数学问题常常能激发学生的学习热情和探究欲望，引导数学探究活动有序进行．而一道好的数学题应具备“容易接受、一题多解、蕴含了重要的数学思想、不故意设陷阱、可推广和一般化”这五个特点．2022年全国高中数学联赛四川省预赛第6题就是一道这样的好题．
1 原题呈现
(2022年全国高中数学联赛四川省预赛第6题)若△ABC
的三边a
,b
,c
满足a
+b
+3c
=7，则△ABC
面积的最大值为．
2 解法探究
简析1 由余弦定理及面积公式构建关系．
解法1
(余弦定理结合面积公式) 由题意可得所以设△ABC
的面积为S
，则当且仅当时等号成立，所以说明
此解法也可以由秦九韶公式直接得到．简析2 由中线长公式及面积公式构建关系．
图1
解法2
(中线长公式) 设△ABC
的面积为S
，AB
的中点为M
(图1)．由中线长公式得所以于是当且仅当时等号成立．简析3 通过余弦定理的数量积形式构建关系．
图2
解法3
(数量积结合坐标运算) 由a
+b
+3c
=7得即以AB
中点M
为原点，建立平面直角坐标系(图2)．设C
(x
,y
)，△ABC
的面积为S
，则化简得故所以当且仅当时等号成立．解法4
考虑边的二次结构与面积的关系，联想到三角形嵌入不等式：若三角形的三边为a
,b
,c
，面积为S
，x
,y
,z
为给定的正实数，则有xa
当且仅当x
∶y
∶z
=(b
+c
-a
)∶(c
+a
-b
)∶(a
+b
-c
)时取等号．所以3 命题背景
笔者翻阅了相关资料，发现与本题类似的问题最早来源于第三届IMO的第2题：若a
,b
,c
为△ABC
的三边，S
为△ABC
的面积，则当且仅当△ABC
为正三角形时等号成立(外森比克(Weizenbock)不等式)．更一般的外森比克不等式的形式为：若a
,b
,c
为△ABC
的三边，S
为△ABC
的面积，x
>0,y
>0,z
>0，则当且仅当即时等号成立．证明
(利用均值不等式)(利用柯西不等式)=根据这个结论，我们可以快速地得到
当然，我们也可以利用待定系数法去寻找等号成立的条件：
7=a
+b
+3c
=a
+b
+3(a
+b
-2ab
cosC
)=4a
+4b
-6ab
cosC
≥8ab
-6ab
cosC
C
≥8abx
sinC
+8aby
cosC
-6ab
cosC
=8abx
sinC
+(8y
-6)ab
cosC
．令则7≥故当且仅当即时等号成立．4 结论推广
外森比克不等式的加强：
推广1 若a
,b
,c
为△ABC
的三边，S
为△ABC
的面积，则当且仅当△ABC
为正三角形时等号成立．证明
易得，只需证明由琴生不等式知函数f
(x
)=sinx
在(0,π)上为凸函数，所以所以有故成立．进一步，我们考虑加权的形式，有：
推广2 已知x
,y
,z
>0，若a
,b
,c
为△ABC
的三边，S
为△ABC
的面积，则当且仅当x
=y
=z
且△ABC
为正三角形时等号成立．证明
(1)由外森比克不等式有≥
由柯西不等式得
[x
(y
+z
)sinC
+y
(z
+x
)sinA
+z
(x
+y
)· sinB
]≥(x
+y
+z
)，所以只需证明
再由柯西不等式得
[x
(y
+z
)sinC
+y
(z
+x
)sinA
+z
(x
+y
)sinB
]≤[x
(y
+z
)+y
(z
+x
)+z
(x
+y
)](sinC
+sinA
+sinB
)．而sinC
+sinA
+sinB
=(1-cos(2-cos 2B
-cos 2C
)=2-cosA
-cos(B
+C
)cos(B
-C
)≤2-cosA
+|cos所以只需证明4(x
+y
+z
)≥27[x
(y
+z
)+y
(z
+x
)+z
(x
+y
)]．而4(x
+y
+z
)-27[x
(y
+z
)+y
(z
+x
)+z
(x
+y
)]=∑(y
-z
)(3x
+2y
+2z
+20yz
)≥0，当且仅当x
=y
=z
时等号成立．所以原命题成立．推广3 已知x
,y
,z
>0，平面上四个点O
,A
,B
,C
，S
为△ABC
的面积，则证明
过O
作OD
⊥BC
于D
，设BD
=m
，CD
=n
，OD
=d
，则当然，我们也可以从幂次上进行推广：
推广4 若a
,b
,c
为△ABC
的三边，S
为△ABC
的面积，m
≥1，则a
2+b
2+c
2≥证明
由权方和不等式，得再考虑推广4的加权形式：
推广5 若a
,b
,c
为△ABC
的三边，S
为△ABC
的面积，x
,y
,z
>0，m
≥1，则xa
2+当且仅当x
=y
=z
且△ABC
为正三角形时等号成立．证明
由柯西不等式，得(xa
2+yb
2+zc
2)(x
+y
+z
)-1=(xa
+yb
+zc
)当且仅当x
=y
=z
且△ABC
为正三角形时等号成立，从而原不等式成立．5 结语
在三角形中，我们往往可以借助正弦定理、余弦定理和面积公式结合基本不等式等工具，使解三角形的变化更加灵活．本文对此类边的二次型结构与面积有关的最值问题进行了深入的剖析，并作了一定的推广，显然，根据推广的形式，我们还可以编拟许多习题或考题，来训练或考查学生的数学思维能力．
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