基于GeoGebra分析一道中考压轴题的源与流

赵玉叶

(江苏省苏州市吴江区盛泽第二中学 215228)

中考数学试题由专家组精心命制而成，而数学压轴题历来在数学中考中占有举足轻重的地位．有些试题看似超乎寻常，实则抽丝剥茧后都能寻到基本的“知识源”，拥有很深的基础性和生命力．GeoGebra数学软件(简称GGB)具有动态、交互、开放、共享、简单、易用等特点，可以创建开放的探究环境，发挥教师的主导作用，体现学生的主体地位，实现静态向动态教学的转变．本文基于GGB软件分析2021年连云港中考数学27题这道动点轨迹压轴题，旨在对其解法进行分析并给出一些初步的思考，从思路摸索中感悟模型的根源，从猜想验证中体验本质的提炼，从可视化探究中思考问题的推广，实现压轴题的“寻源”与“显流”．

1 试题呈现

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

图1

(1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1．求CF的长.

(2)如图1，△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长.

(3)△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图2．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长.

图2 图3

(4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图3．当点E到达点B时，点F,G,H与点B重合．则点H所经过的路径长为，点G所经过的路径长为．

第(1)小题是典型的全等三角形模型——“手拉手”模型．我们很容易证明△BAE≌△BCF(SAS)，求得CF=AE=1．

下面主要探讨第(2)～(4)小题．

2 寻源：方法初探——“按图索迹”

2.1 动点轨迹：模型归纳

后三小题考查的是动点的轨迹问题．初中数学中的动点轨迹有两种模型：直线型、圆弧型．受函数图象画法三步骤的指引，解决动点轨迹问题可以分为三步：(1)画图，取3个特殊位置(一般是起点、中点、终点)；(2)连线，判断曲直；(3)求解，求动点路径的线段长或弧长．

图4 图5

图6

2.2 图形变换：本质提炼

能够影响到企业金融风险的因素有很多，其中占很大比重的就有员工的专业水平和专业能力的不足以及企业整体规划不够符合实际情况等，这些原因都会直接导致企业的各种经济风险，甚至会给企业带来财产损失和名誉受到损害。

上述常规解法需要画图确定动点的轨迹，所以比较费时费力．如果从图形变换的角度去思考动点轨迹的问题，往往可以发现从动点轨迹与主动点轨迹是有关联的．本题所有图形运动的实质都是旋转加位似，共同特征是正多边形共顶点．在这样的图形变换下都会形成“手拉手”模型．

如图7所示,第(3)小题中由围绕点B的四条“拉手线”BA=BC，BM=BN，就能找到△BAM≌△BCN(SAS)．所以点N的运动轨迹长等于点M的运动轨迹长DC．同理，如图8所示，第(4)小题中由围绕点B的四条“拉手线”BA=BC，BF=BH，能找到△BAF≌△BCH(SAS)，也就是点C，G，H三点共线．于是在Rt△ACG中，点G在以AC为直径的圆上，在Rt△BCH中，点H在以BC为直径的圆上．

图7 图8

解题的成功要依靠正确思路的选择，要从最接近它的方向攻克．解初中的几何题理所应当提倡“以图为纲，按图索迹”．对于动点轨迹问题，我们可以从局部去分析动点的轨迹模型，判断直线型或圆弧型；也可以从整体出发关注图形变换(平移、对称、旋转、位似)．点动成线，线藏于形，解题时双管齐下，方可使思路并蒂开花．

3 显流：深度拓展——“按图索GGB”

数学家波利亚指出：“当你找到第一个蘑菇后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的．”在进行完上述探究过程后，学生对本题的动点轨迹和图形变换有了一定的认识与掌握，此时教师可以利用信息技术工具，向学生展示点的动态运动，并对其他特殊动点和一般化图形作进一步推广．下文探究“按图索GGB”的可视化拓展，利用GGB展开探索．

3.1 验：验证动点的轨迹

图9 图10 图11

3.2 探：探索其他的动点

问题1-1第(2)小题中等边三角形BEF的各边中点形成了怎样的轨迹？

图12

先利用GGB探究：输入等边三角形ABC→在边AC上任取一点E→连结BE，输入等边三角形BEF→输入中点K,N,H→分别选择中点K,N,H关于动点E的轨迹．如图12，可发现各边中点的轨迹也是线段．

问题1-2若将第(2)小题中等边三角形ABC和等边三角形BEF都换成一般三角形，那么第三个顶点的轨迹会有怎样的变化？

图13

先利用GGB探究：输入任意三角形ABC→在边AC上任取一点D→连结BD，标记∠BCD为α→顺时针旋转△BCD，旋转角为α→作位似三角形BED→选择点E关于动点D的轨迹．如图13，可以发现点E的轨迹不再与AB边平行，但保持直线型轨迹．

问题1-3若将第(2)小题中等边三角形ABC和等边三角形BEF都换成一般三角形，那么各边中点的轨迹会有怎样的变化？

图14

先利用GGB探究：输入中点H,M,L→分别选择中点H,M,L关于动点D的轨迹．如图14，可发现各边中点的轨迹也是线段．

证明中位线LJ中位线MK中位线HI

问题2若将第(3)小题的中点D换成一般位置的点，其轨迹会有怎样的变化？

图15

先利用GGB探究：输入等边三角形ABC→在边AB上任取一动点D→连结CD，在边CD上任取一动点E→连结BE，输入等边三角形BEF→选择点F关于动点E的轨迹．如图15，拖动点D可发现点F的起点G随之运动，终点H保持不变，轨迹依旧呈现直线型．拖动点E，点F随之在线段GH上运动．

证明根据BD=BG，利用“手拉手”模型，我们容易证明△BDE≌△BGF(SAS)，所以点F的轨迹长GH等于点E的轨迹长CD．

问题3若将第(4)小题中动点E从边BC换到直线BC上，那么点G与H的轨迹会怎样变化？

图16

证明在Rt△ACG中，点G在以AC为直径的圆上；在Rt△BCH中，点H在以BC为直径的圆上．

数学解题总是从分析已知元素和未知元素开始，二者的关联越不明显，就越值得探究．本道中考压轴题难度较大，区分度明显，学生很难观察出从动点与主动点的直接联系，更难将轨迹和图形变换分析出来．但运用GGB，学生能够直观地“看到”动点间的联系和要求的动点轨迹．具象化地展示试题的完成和拓展可以帮助学生认清试题本质、理解数学问题，有助于其养成反思的好习惯，落实“低起点，高落点”的目标．

4 结语

中考数学命题十分重视回归教材、重视基本知识，而中学数学教学的目的在于使学生掌握基础知识和基本技能，培养学生的数学能力，形成正确的解题思路和看题观点，这是中学数学教学的本源[1]．弗赖登塔尔认为：“数学知识不是教出来的，而是研究出来的．”学生解决问题的能力何尝不是如此呢？只有亲历问题的探索过程、锻炼科学的思维方式，才能在实践中逐步具备丰富的策略方法．教师根据教学内容和教学目标适时、适量地使用信息化平台，能够突破数学“难以意会，无法言传”的障碍，真正做到“教懂、教活、教深”[2]，引导学生将更多精力集中在高层次的数学思考上，实现有意义的解题教学，促进学生的思维发展．