小波神经网络PID控制在板球系统中的研究

夏国锋， 向凤红， 杨立炜

(昆明理工大学信息工程与自动化学院，昆明 650000)

0 引言

板球系统是一个具有非线性、强耦合、参数不确定性和未知干涉的二维控制对象[1]，几乎包含了复杂系统的所有特征,是控制理论研究的理想实验平台,优化其控制算法可有效提高轨迹跟踪的控制精度。经典的板球控制算法都是基于PID进行研究和改进的，针对PID控制器参数的整定问题，常用的算法有临界比例度法、模糊整定法、神经网络PID等。

为解决常规PID参数整定的不足之处，相关学者做了以下改进：文献[2]提出了模糊PID控制器，虽然板球的动静性能有所改善，但响应速度慢和超调较大；文献[3]提出Backstepping方法和H∞控制理论控制板球，跟踪误差较大；文献[4]为解决RBF-PID算法响应速度慢而引入加速率，但是系统跟踪精度较差；文献[5]设计嵌入式自适应PID系统，虽然能够自整定参数，但是小球在平板边缘处滑出平板；文献[6]为解决非线性系统不确定性和复杂性，将小波神经网络(WNN)辨识与PID控制器相结合，获得了很好的辨识性能；文献[7]为了抑制次同步共振(SSR)，利用WNN自整定PID，获得了很好的鲁棒性；文献[8]针对电机伺服系统非线性和不确定性，提出WNN控制器，获得了良好的频率响应和跟踪精度。

以上常规PID改进策略存在控制响应慢、稳定性差和鲁棒性差的问题，本文结合小波神经网络收敛快、稳定性和鲁棒性好等优点，首次提出了一种基于板球系统的WNN辨识和WNN-PID控制相结合的策略，该策略结合小波理论和BP神经网络，基于动量梯度和AdaDec动态学习速率，更新权值参数寻最优的PID参数，实现了PID参数的自整定。

1 板球系统建模

由于板球系统存在复杂非线性[1]，为此，假设具有以下约束条件：1) 不考虑所有摩擦力的影响；2) 球与板之间没有滑动和跳动(任何时刻小球r=ωR，r为小球速度，ω为球板角速度，R为球板中心到小球的距离(即小球半径)，满足系统可积条件)； 3) 任何情况下球与板都接触；4) 球绕Z轴及其平行轴的旋转忽略不计； 5) 平板质量分布均匀对称，板在X和Y方向关于中心点对称，两个轴机械条件相同。

板球系统二维结构如图1所示。

图1 板球系统二维结构Fig.1 Two-dimensional structure of ball and plate system

板球系统基于能量的拉格朗日方程[9]推导，即

(1)

式中：T是拉格朗日参数;q=(qX,qY,qθ,qβ)T，代表4个自由度方向的坐标;V为势能;L为耗散函数;u(t)为作用于系统的外力向量。根据欧拉—拉格朗日方程，可分别推导出X和Y方向、θ和β方向的平衡方程为

(2)

从式(2)可以求得板球的状态方程为

(3)

(4)

一般情况下，小球运动速度很低，θ，β很小[1,10-11]，不超过6°[2,12]可做近似处理，sinθ≈θ，sinβ≈β[13],将系统分解成X方向和Y方向2个解耦后的子系统,其模型可分别表示为

(5)

由Ib=0.4mR2，整理可得

(6)

经分析，通过拉格朗日方程建立了由两部分组成的板球系统模型，可得X方向和Y方向的独立系统。

2 WNN-PID控制器的设计

设计的WNN-PID控制器系统结构如图2所示。其中，rin表示输入，yout表示输出。

图2 WNN控制方案的总体控制框图Fig.2 Overall control block diagram of WNN control scheme

其中被控对象由PID直接对其控制，控制器的3个参数Kp,Ki,Kd由WNN整定，WNN辨识器对系统辨识，调整WNN的参数。

2.1 小波神经网络

本文所设计的WNN-PID控制器采用3层结构，各层节点数为3-5-3，结构如图3所示，其中，m为输入层节点数，p为隐含层节点数，n为输出层节点数。

图3 小波神经网络的结构Fig.3 Structure of wavelet neural network

隐含层的输入为

(7)

隐含层输出为

(8)

选择小波基函数为

h(x)=cos(1.75x)e-x2/2

(9)

输出层激励函数

(10)

输出层输入算式为

(11)

则可得网络的输出为

(12)

式中：K=[KpKiKd]T；xi=[rin(k)yout(k)e(k)]T；yn(k)=rin(k)，为小球目标位置；y(k)=yout(k),为小球位置；e(k)为误差；φl j为输出层的第l个神经元与隐含层第j个神经元的连接权值；ωi j为隐含层的第j个神经元与输入层第i个神经元的连接权值；θj为隐含层第j个神经元的阈值；βl为输出层第l个神经元的阈值。

为了推导WNN的权值更新规律，利用核最小均方(Kernel Least Mean Square,KLMS)算法定义WNN的误差函数指标E(k)[14]为

E(k)=0.5(yn(k)-y(k))2。

(13)

应用动量梯度下降法，得到权值的更新规律为

(14)

式中：η为学习速率，0<η<1；α为动量，0<α<1；

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

通过WNN与PID控制器相结合，实现对模型的跟踪控制。增量式PID控制规律为

Δu(k)=(Kp+Ki+Kd)e(k)-(Kp+2Kd)e(k-1)+Kde(k-2)。

(20)

2.2 WNN辨识学习算法

WNN辨识部分采用2-5-1结构，如图4所示。

图4 三层WNN辨识结构Fig.4 Three-layer WNN identification structure

辨识部分的小波函数和WNN-PID所用一样，其正向传播算法如下所述。

隐含层输入输出

(21)

(22)

输出层输出

(23)

其中,xi=[u(k)y(k)]T。

定义误差指标函数为

(24)

其反向传播权值调整算法为

(25)

式中:0<ηI<1，0<αI<1;

(26)

(27)

算法稳定性分析如下。

取Lyapunov函数为

(28)

则

(29)

另外，令P=[wi jwjσjdj]，则

(30)

所以

(31)

2.3 AdaDec动态学习速率

神经网络的学习速率要求，刚开始初始学习速率η(0)较大；随着学习次数的增加，η(k)逐渐减小直到网络更新到最优解。指数衰减学习公式为

η(k)=η(0)(10)-k/r0。

(32)

AdaDec[15]是基于AdaGrad的改进形式，原理如下

p(k)=η(0)(1+k/r0)-s

(33)

G(k)=γf2(k-1)+f2(k)

(34)

(35)

其中：r0为常数；p(k)为初始学习速率；G(k)为中间变量；s为无关常数，通常取1或0.75；c=1，以确保学习速率有界；f(k)=∂E(k)/∂w(k)，代表误差函数对权值的导数；γ为调整量。

3 系统收敛性分析

根据系统性能指标E(k)，在反向传播方向上调整隐含层和输出层的权重系数。构造Lyapunov函数

V(k)=0.5(yn(k)-y(k))2=0.5e2(k)

(36)

通过梯度下降法进而可得

(37)

(38)

假设式(38)满足以下条件：1) 0<η(k)<2；2)V(k)趋于V*；(3)g(0)=0。那么

(39)

如果z(k)是有界的，那么

(40)

定义V*=[v1v2v3]T=[KpKiKd]T,结合式(22)有

(41)

(42)

(43)

因此，可得

(44)

结合条件1)、式(39)和式(40)可知，ΔV(k)≤0，因此系统是稳定的。

4 仿真分析

为了验证WNN-PID控制方案的可行性和有效性，本文引用文献[16]中采用BP神经网络辨识和BP神经网络整定PID参数相结合(BP-PID)策略作为对比，分别对常规PID，BP-PID和所提策略进行了仿真实验。

选取c=1,η(0)=0.2,s=1,γ=0.9,r0=6.6×108，α=0.01;ωi j,φl j,wj,wi j在[-1，1]随机初始化,aj，bj,σj,dj在[0，1]随机初始化。对单位阶跃、正弦信号和圆形轨迹分别进行跟踪仿真。

图5所示为单位阶跃响应曲线。

图5 单位阶跃响应曲线Fig.5 Unit step response curve

由图5 (a)可以看出，常规PID算法存在超调大、调节难、响应慢的问题，相比于此，在超调和响应速度指标上，BP-PID策略更优；相比于BP-PID算法，本文所提策略几乎没有超调，且稳定性好，能快速跟踪给定指令信号(Demand)。通过对比图5(a)和图5(b)，在响应速度和稳定性方面，以动态学习速率训练神经网络的算法都优于固定学习速率，进一步可以看出所提策略具有更好的收敛性和鲁棒性。

图6所示为正弦跟踪及误差曲线。

图6 正弦跟踪曲线和误差曲线Fig.6 Sinusoidal tracking curve and error curve

如图6所示，在两种PID控制器自整定的仿真结果中，输出均能够跟踪输入的变化。相较于此，常规PID和BP-PID在稳定性和误差上都不如WNN-PID控制策略。

图7所示为WNN-PID正弦跟踪误差对比曲线。

图7 WNN-PID正弦跟踪误差对比曲线Fig.7 Error comparison curve of WNN-PID sinusoidal tracking

由图7可知，固定学习速率由于η固定，不能及时根据性能指标函数调整大小，容易陷入局部最优，所以在稳定性上不如动态学习速率。

图8所示为WNN-PID圆形轨迹跟踪。

图8 WNN-PID圆形轨迹跟踪Fig.8 WNN-PID circular trajectory tracking

由图8的X和Y方向的圆形轨迹跟踪可发现，动态学习速率响应和鲁棒控制特性优于固定学习速率。

5 结束语

本文针对板球系统非线性、PID控制效果差等问题，首次提出了WNN-PID控制策略应用于板球系统。该策略利用WNN辨识板球系统模型，获得Jacobian信息，然后利用辨识得到的∂y(k)/∂u(k)在线训练WNN辨识和WNN控制器的参数，WNN进一步整定了PID参数。此外，为了加快网络收敛速度，引入动量梯度和AdaDec动态学习速率更新WNN的参数。同时，结合Lyapunov验证了板球控制系统的稳定性，从而保证了误差的收敛性。

经拉格朗日建模仿真实验表明，本文策略与传统PID和BP-PID相比，具有较好稳定性和鲁棒性，并且几乎没有超调。在后续研究中，可结合模型参考以及结合模糊小波神经网络，进一步研究板球系统的强耦合和未知干扰等特性。