二次幂求和公式的两种证明

赵艳艳

(山西省晋中师范高等专科学校 030600)

1 二次幂求和公式的产生

这个公式是如何推导出来的，后人从不同的角度对此做了许多猜想和验证，不仅方法多样，还直观易懂，其中蕴含的数学思想方法启迪后来者继续对这个问题进行探索.本文根据人的思维发展特点和心理发展规律,提出归纳法是最接近古人思维的一种方法，即与一次幂求和公式进行对比，找到规律，推导过程如下：

12:1=1

(12+22):(1+2)

(12+22+32)：(1+2+3)

(12+22+32+42)：(1+2+3+4)

依次类推，得出二次幂求和与一次幂求和有如下关系：

(12+22+32+…+n2):(1+2+3+…+n)

即 12+22+32+…+n2

数学进入近代以后，人们转而从代数角度运用公式进行演算，如17世纪法国数学家帕斯卡对次数为3的二项式进行变形，利用裂项相消的方法把三次幂进行降幂处理，推出了二次幂求和公式，其方法如下：

由(r+1)3=r3+3r2+3r+1得：

(r+1)3-r3=3r2+3r+1

于是有：

23-13=3×12+3×1+1

33-23=3×22+3×2+1

43-33=3×32+3×3+1

⋮

(n+1)3-n3=3×n2+3×n+1

把以上n个式子相加，可得：

由此有：

2 两种尝试

在初等数学中，对于项数较多的数列求和计算题用裂项相消法可以极大地简化计算.本文在前人成果的基础上，作了如下两种尝试.

方法1：裂项相消法

二次幂的一般形式为n2，我们对n2作如下变形：

n2=n(n+1)-n，

因为n(n+1)

所以，

12=1×2-1

22=2×3-2

32=3×4-3

⋮

n2=n(n+1)-n

把上面n个式子相加，得到：

12+22+32+…+n2

此法沿用了裂项相消的思想，把二次幂求和转化为自然数列求和，从而达到简化计算的目的.

方法2：公式法

本文在帕斯卡的基础上进行了改进，运用立方差公式推导出了二次幂求和公式.

由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)可知：

23-13=22+2×1+12

33-23=32+3×2+22

⋮

(n+1)3-n3=(n+1)2+(n+1)n+n2

把n个式子相加，有：

所以，

12+22+32+…+n2

3 一点感想

在数学发展的过程中，对某一问题的研究，不同的人往往会从不同的角度进行思考，因此会有不同的创新点.也正因为如此一题多解在发展思维方面有独特的作用.通过数学史，我们可以了解古人的思维方法，发现古人思维的闪光点.而古今方法的对比，往往可以给我们很多思维上的启迪.把数学史融入数学教学作为数学教育领域中的一个课题，对今天数学教育的改革有积极的意义.教学中我们可以针对某一知识点向学生展示古人解决问题的方法，引导学生学习古人追求真理的精神，把我们的数学课题变成一门有血有肉活生生的课堂，更好地激发学生学习数学的兴趣.