一类双曲方程行波解的存在性及渐近稳定性

孙 聪, 宋文晶, 闫东泽

(1. 吉林财经大学 应用数学学院, 长春 130117； 2. 吉林大学 数学学院, 长春 130012)

0 引 言

考虑Klein-Gordon方程：

utt-Δu+u=aup-1-buq-1,t>0, (x,y)∈2,

(1)

设c>0为一个常数, 考虑方程(1)的形如u(x,y,t)=u(x-ct,y)的行波解, 将其代入方程(1)可得

(c2-1)uξξ-uyy+u-aup-1+buq-1=0,ξ=x-ct.

(2)

因此, 讨论方程(1)行波解的存在性只需讨论方程(2)非平凡解的存在性即可.

1 预备知识

(3)

该内积诱导的模为

(4)

令E表示以式(4)为模的X的完备化空间, 显然其为Hilbert空间.

引理1[15]对μ>0,λ≥0, 2≤p<∞, 有连续嵌入关系E⊂Lp(2).

引理3[13]设un为E中的有界列, 且

其中B(x,y,δ)表示以(x,y)为圆心、 以δ为半径的圆.则对∀p>2, 在Lp(2)中有un→0.

引理4(山路引理)[16]设Y是Banach空间,I∈C1(Y,)满足下列条件:

1)I(0)=0, 且存在ρ>0使得I|∂Bρ(0)≥α>0;

Γ={g∈C([0,1],Y):g(0)=0,g(1)=1}.

2 主要结果

考虑问题

(5)

(H3) 存在γ>2, 使得∀s∈,γF(s)≤sf(s).

引入E上的泛函

(6)

显然有J′(u)∈C2(E,), 可知问题(5)的解即为式(6)的临界点.

定理1若假设条件(H1)～(H3)成立, 则问题(5)存在非平凡解.

证明： 对∀ε>0, 由(H1)可知, ∃C(ε), 使得

(7)

从而

(8)

其中C1(ε)=C(ε)/q.

由引理1及式(6)可知, ∃C2,C3, 使得

(9)

J(un)→c,J′(un)→0.

(10)

由条件(H3)可知, 当n充分大时, 有

其中〈J′(un),un〉表示泛函J′(un)在un处的值.由式(11)可知, ‖un‖E有界.

下面令

(12)

若θ=0, 则由引理3可知, 对∀p>2, 在L2()中有un→0.从而

但这与已知矛盾, 进而θ>0.

由式(12)可知, 当n充分大时, 有

(14)

由式(14)可知, ∃{(ξn,yn)∈2}满足

(15)

由式(15)可知,J′(ν)=0, 从而ν即为方程(1)的非平凡解.证毕.

下面采用加权能量估计方法证明方程(1)行波解的渐近稳定性.考虑方程(1)的初值问题

(16)

假设方程(1)的行波解为u(x,y,t)=φ(x-ct,y)=φ(ξ,y), 满足

(c2-1)φξξ-φyy+φ-aφp-1+bφq-1=0,ξ=x-ct.

定义v(ξ,y)=u(x,y,t)-φ(ξ,y), 则可得如下扰动问题：

(17)

定义函数空间及范数:

X(0,T)={v(ξ,y)|v∈C([0,T];H2;H2),vξξ,vyy∈L2((0,T);H2;H2)},

特别地, 定义

X(0,∞)={v(ξ,y)|v∈C([0,∞);H2;H2),vξξ,vyy∈L2((0,∞);H2;H2)},

N2(T)≤CTN2(0),

(18)

其中CT>0为常数.

引理6若引理5的条件成立, 则方程(17)存在全局解v(ξ,y)∈X(0,+∞), 同时存在一个不依赖于t的常数C, 使得

N2(∞)≤CN2(0).

(19)

引理5的证明与文献[17]中定理2.2的证明类似, 引理6的证明与文献[18]中命题4.3的证明类似, 故略.

定理2若φ是初值问题(16)的行波解, 满足

(20)

证明: 首先, 定义一个加权函数ω(ξ)=e-2ξ.由式(19),(20), 有

表明

(22)

由相应的能量估计及Sobolev不等式[19]H1()C(), 可得

max‖V(ξ,y)‖≤2‖v(ξ,y)‖1/2·‖vξ(ξ,y)‖1/2.

因为max‖V(ξ,y)‖有界, 结合式(21), 有

(23)