金融不确定分数阶混沌系统滑模同步的3种控制方案

毛北行, 王东晓

(郑州航空工业管理学院 数学学院, 郑州 450015)

目前, 混沌研究已取得较多成果[1-2]. 随着人们对滑模控制方法的进一步研究和系统建模的需要, 混沌系统的动力学行为及其滑模同步已成为研究的新热点[3-6], 其中金融混沌系统已引起人们广泛关注[7-17]： 文献[10]基于线性控制研究一类金融系统同步, 得到了金融系统同步控制的充分条件； 文献[11]研究了一类经济系统的动力学行为与动力学解析问题； 文献[12]研究了一类不确定参数金融混沌系统的广义投影同步； 文献[13]基于动力学理论研究了一类金融混沌系统的定性分析； 文献[14]研究了一类非线性金融混沌系统的动力学分析与同步； 文献[15]研究了改进金融混沌系统的动力学行为与自适应同步； 文献[16]研究了一类金融混沌系统的线性控制模型, 对金融混沌系统进行了数值建模和定性分析； 文献[17]研究了金融混沌系统的动力学特性. 滑动模态控制研究方法具有良好的鲁棒性和对不确定参数的非敏感性与不依赖性, 由于金融混沌会导致经济领域和金融领域毁灭性和灾难性的打击, 因此对金融混沌的研究尤为重要, 通过混沌同步可有效抑制并避免金融混沌的发生. 但不确定分数阶混沌金融系统的自适应滑模同步问题尚未被系统研究, 基于此, 本文研究三维分数阶金融不确定混沌系统的自适应滑模同步的3种控制方案, 根据分数阶滑模控制理论给出金融不确定分数阶混沌系统取得滑模同步的3个充分条件.

1 主要结果

文献[16]提出的金融模型为

(1)

其中a为储蓄,b为单位投资成本,c表示市场需求弹性,x1为利率,x2为投资需求,x3为价格指数.当a=3.0,b=0.1,c=1时, 设置初值为(0.5,3,-0.5), 则系统(1)的吸引子如图1所示.

图1 系统(1)的吸引子Fig.1 Attractors of system (1)

考虑系统(1)对应的分数阶系统[17]：

(2)

当a=3.0,b=0.1,c=1,q>0.85时, 设置初值为(0.5,4,-0.5), 则系统(2)的吸引子如图2所示.

图2 系统(2)的吸引子Fig.2 Attractors of system (2)

以系统(2)为主系统, 设计从系统为

(3)

其中Δf(φ(t))为不确定项,φ(t)=(y1,y2,y3)T,d(t)为系统外部扰动,u(t)为控制输入, 定义ei=yi-xi,i=1,2,3, 得到误差系统

(4)

假设1|Δf(φ(t))|≤g, |d(t)|≤h, 其中未知参数g,h>0.

(5)

自适应律为

(6)

(7)

当不在滑模面上运动时, 构造

(8)

根据引理1可得

由引理2可得

因此s(t)→0.

定理2在假设1条件下, 设计滑模函数s(t)=e1-ke3,k>0, 自适应律为式(6), 控制律为

(9)

当不在滑模面上运动时, 构造V(t)如式(8)， 根据引理1可得

定理3在假设1条件下, 设计滑模函数s(t)=e1, 自适应律为式(6), 控制律为

(10)

当不在滑模面上运动时, 构造V(t)如式(8)， 根据引理1可得

2 数值仿真

用MATLAB仿真程序进行仿真, 选取参数为a=3.0,b=0.1,c=1,q>0.85, 初始值设为

(x1(0),x2(0),x3(0))=(2.2,6,2.5),

(y1(0),y2(0),y3(0))=(-2,6,-6).

图3 定理1的系统误差曲线Fig.3 Systematic error curves of theorem 1

图4 定理2的系统误差曲线Fig.4 Systematic error curves of theorem 2

图5 定理3的系统误差曲线Fig.5 Systematic error curves of theorem 3

综上, 本文研究了金融不确定三维分数阶混沌系统的滑模同步, 根据分数阶微积分理论得到分数阶金融不确定混沌系统自适应滑模同步的3个控制方案, 并用MATLAB仿真程序检验了所得结论. 结果表明, 设计恰当的滑模函数可使金融不确定三维混沌系统的驱动-响应系统取得滑模同步.