基于非最大纠缠态的非对称双向隐形传态及优化

肖钧匀, 柏明强, 李文靖, 刘芷仪

(四川师范大学 数学科学学院, 四川 成都 610066)

量子通信是量子论与通信论相结合的一门新兴交叉科学,主要涉及量子隐形传态[1-4]、量子超密编码[5]、量子态分享[6-9]、量子信息集中[10-11]等研究领域,其中量子隐形传态又是最引人瞩目的课题之一.

量子隐形传态是利用量子纠缠在量子通信领域中最奇妙的应用,能实现瞬时离物传输.1993年Bennett[1]等就提出了量子隐形传态的概念:一种利用经典信道和量子纠缠资源实现远程传态的方式.在这开创性工作之后,研究者利用不同类型的量子通道,提出了许多传送未知量子态的方案,比如单向隐形传态[12]、单向受控隐形传态[13]、双向隐形传态[14-16]等.结合受控和双向隐形传态思想,2013年Zha等[17]提出了第一个量子双向受控隐形传态方案:信息传输的两方在第三方的控制下,可以同时交换他们的任意单粒子未知态.量子双向受控隐形传态作为量子隐形传态的一个新的方向,得到极大关注.此后,一些学者提出以不同量子纠缠态为信道的相互传输量子态的若干方案[18-24].其中非对称的双向受控隐形传态方案是由Zhang等[23]于2015年首先提出,该方案以7粒子最大纠缠态为信道,在监控者的控制下,Alice传送她的单量子态给Bob,同时,Bob也能传送他的二量子态给Alice.在2019年,彭家寅[24]提出9量子团簇态信道的非对称的双向量子信息传输方案,其优点是Alice采用特殊的测量基,使得选择的信道粒子数相对更少,提高了传输效率.上述研究从多方面验证非对称的双向隐形传态具有重要研究意义.

目前,针对非对称双向隐形传态的研究成果中,还没有一般性结论,本文先讨论通信双方同时传输不同粒子数的双向隐形传态,特别地,以n=2,m=1 给出具体形式.在此基础上,通过分析发现可以使信道粒子数减少,从而得到更优方案.

1 基于非最大纠缠态为信道的非对称双向隐形传态

假设Alice,Bob 分别有待传态为:

|ψ〉x1x2…xn=

(a|00…0〉+b|11…1〉)x1x2…xn,

|ψ〉y1y2…ym=

(c|00…0〉+d|11…1〉)y1y2…ym,

(1)

其中非零复数a,b,c,d满足|a|2+|b|2=1,|c|2+|d|2=1.他们共享一个(2n+2m)粒子态的量子信道:

|ψ〉12…2n+2m=(a1|00〉+b1|11〉)12⊗…⊗

(an+m|00〉+bn+m|11〉)(2n+2m-1)(2n+2m).

(2)

其中m,n∈Z+,非零复数a1,a2,…,an+m,b1,b2,…,bn+m满足

|a1|2+|b1|2=1, |a2|2+|b2|2=1,
…, |an+m|2+|bn+m|2=1,

规定|ai|<|bi|(i=1,2,…,n+m),|aj|<|aj+1|(j=1,2,…,n+m-1).为了实现非对称双向隐形传态,需要进行如下步骤.

步骤1信道制备阶段.要实现非对称双向隐形传态,需本地制备(2n+2m) 粒子纠缠态信道.通过对初始态|00…0〉12…2n+2m中序号为1,3,…,2n+2m-1的粒子进行Hardmard操作,再对粒子对(1,2),(3,4),…,(2n+2m-1,2n+2m)进行受控非门操作,则能成功制备该信道.具体操作流程如下.

对序号为1,3,…,2n+2m-1的粒子进行Hardmard操作,结果初始态变为

(|00〉+|10〉)⊗…⊗(|00〉+|10〉)12…2n+2m.

对粒子对(1,2),(3,4),…,(2n+2m-1,2n+2m)进行受控非门操作,其中1,3,…,2n+2m-1为控制比特,结果为

则本地制备成功.制备过程如图1.

图1 (2n+2m)粒子纠缠态制备

步骤2测量阶段.粒子x1,x2,…,xn,1,3,…,2n+2m-1属于Alice,粒子y1,y2,…,ym,2,4,…,2n+2m属于Bob,整个系统态可表示为

|ψ〉t=

|ψ〉x1x2…xn⊗|ψ〉y1y2…ym⊗|ψ〉12…2n+2m.

(3)

Alice对粒子对(x1,1),(x2,3),…,(xn,2n-1)实施Bell测量,同时Bob对粒子对(y1,2n+2),(y2,2n+4),…,(ym,2n+2m)实施Bell测量,测量结果共有4n+m种,其中Bell基为

|B

步骤3经典信息传输阶段.Alice将她测量结果编码成经典信息,通过经典信道发送给Bob;同时,Bob将他测量结果编码成经典信息,通过经典信道发送给Alice.编码规则如下:

|B00〉→00, |B01〉→01,

|B10〉→10, |B11〉→11.

步骤4重构量子态阶段.Bob根据Alice的测量结果,分别对粒子2,4,…,2n实施相应的幺正变换.同时,Alice根据Bob的测量结果,分别对粒子2n+1,2n+3,…,2n+2m-1实施相应的幺正变换.规则如下:

00 →δI, 01 →δx, 10→δz, 11→iδy.

注意:

δI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,δz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,
δx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,iδy=|0〉〈1|-|1〉〈0|.

例如,Alice的测量结果为|B10〉x1,1,|B10〉x2,3,…,|B10〉xn,2n-1,Bob的测量结果为|B10〉y1,2n+2,|B10〉y2,2n+4,…,|B10〉yn,2n+2m,余下粒子坍塌为

(-1)

(-1)

根据收到的测量结果,Bob需对粒子(2,4,…,2n)进行幺正变换δz2⊗δz4⊗…⊗δz2n,同时,Alice需对粒子(2n+1,2n+3,…,2n+2m-1)进行幺正变换δz2n+1⊗δz2n+3⊗…⊗δz2n+2m-1,可得到

(4)

为重建最初的粒子态,Bob和Alice应分别引进一个初始态为|0〉B和|0〉A的二能级粒子B和A,并分别对(4)式在基矢|00〉2B,|01〉2B,|10〉2B,|11〉2B和|00〉(2n+1)A,|01〉(2n+1)A,|10〉(2n+1)A,|11〉(2n+1)A实施如下幺正变换U1和U2:

(4)式演化为

d|1…1〉)2n+1,…,2n+2m-1|0〉A+

d|1…1〉2n+1,…,2n+2m-1|1〉A].

对于Alice和Bob的其他的测量结果,Bob和Alice只需根据接收到的测量结果分别对粒子(2,4,…,2n)和粒子(2n+1,2n+3,…,2n+2m-1)实施相应的幺正变换,并引入一个辅助粒子再做一次单粒子测量,即可以通过一定概率分别恢复出Alice和Bob想传输的粒子态.特别地,当信道为最大纠缠态时,即

双方成功率达到1.

当n=2,m=1 时,Alice,Bob 分别有待传态为:

|ψ〉x1x2=(a|00〉+b|11〉)x1x2,

|ψ〉y1=(c|0〉+d|1〉)y1,

(7)

其中非零复数a,b,c,d满足

|a|2+|b|2=1, |c|2+|d|2=1.

他们共享一个6粒子非最大纠缠态的量子信道,其量子信道为

|ψ〉123456=

(c1|0000〉+c2|0011〉+c3|1100〉+

c4|1111〉)1234⊗(a3|00〉+b3|11〉)56.(8)

其中非零复数c1,c2,c3,c4,a3,b3满足

|c1|=|a1a2|, |c2|=|a1b2|, |c3|=|a2b1|,
|c4|=|a2b2|, |a1|2+|b1|2=1,
|a2|2+|b2|2=1, |a3|2+|b3|2=1,

规定

|ai|<|bi|(i=1,2,3), |aj|<|aj+1|(j=1,2),

显然Alice传送成功总概率为2|c1|2+2|c2|2,Bob传送成功总概率为2|a3|2.若对应的信道为最大纠缠态,则非对称双向传态成功传送的概率为1.

2 基于4粒子纠缠态为信道的非对称双向隐形传态

本节考虑Alice和Bob分别同时互传2粒子态和单粒子态给对方,采用粒子数更少的信道,如4粒子态.

假设Alice和Bob分别有待传态为

|ψ〉12=(a|00〉+b|11〉)12,

|ψ〉3=(c|0〉+d|1〉)3,

(9)

其中非零复数a,b,c,d满足

|a|2+|b|2=1, |c|2+|d|2=1.

他们共享一个4粒子非最大纠缠态的量子信道,其量子信道为

|ψ〉4567=(a1a2|0000〉+a1b2|0111〉+

b1a2|1000〉+b1b2|1111〉)4567.

(10)

其中非零复数a1,b1,a2,b2满足

|a1|2+|b1|2=1, |a2|2+|b2|2=1,

且规定|a1|<|b1|,|a2|<|b2|,为了实现非对称双向隐形传态,需进行以下步骤.

步骤1测量阶段.假设粒子1,2,4,5属于Alice,粒子3,6,7属于Bob.整个系统态可表示为:

|ψ〉t=|ψ〉12⊗|ψ〉3⊗|ψ〉4567.

(11)

下列8个GHZ态构成三粒子正交基:

Alice需要对粒子2施行Hadamard操作,然后用三粒子正交基对粒子对(1,2,5)实施测量,同时Bob对粒子3实施单粒子投影测量，可想而知测量结果有16种.

步骤2经典信息传输阶段.Alice将他测量结果编码成经典信息,通过经典信道发送给Bob,同时,Bob将他测量结果编码成经典信息,通过经典信道发送给Alice.编码规则如下:

|-〉,|γ+〉→0000; |δ-〉,|λ+〉→0101;

|γ-〉,|+〉→0010; |λ-〉,|δ+〉→0011.

步骤3重构量子态阶段.Bob根据Alice的测量结果,对粒子(6,7)实施相应的幺正变换,同时,Alice根据Bob的测量结果,对粒子(4)实施相应的幺正变换.规则如下:

00 →δI, 01 →δx, 10→δz, 11→iδy.

注意:

δI=|0〉〈0|+|1〉〈1|,δz=|0〉〈0|-|1〉〈1|,
δx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,iδy=|0〉〈1|-|1〉〈0|.

不失一般性,假设Alice的测量结果为|λ+〉1,2,5,Bob的测量结果为|0〉3,余下粒子坍塌为

根据收到的测量结果,Bob对粒子(6,7)进行幺正变换δx6⊗δx7,同时,Alice对粒子(4)进行幺正变换δI4可得

c(a1|0〉+b1|1〉)4.

(12)

为重建最初的粒子态,Bob和Alice需分别引进一个初始态处于|0〉B和|0〉A的二能级粒子B、A,并分别对(13)式在基矢|00〉6B,|01〉6B,|10〉6B,|11〉6B和|00〉4A,|01〉4A,|10〉4A,|11〉4A实施如下幺正变换U3和U4:

(13)式演化为

[a1(c|0〉+d|1〉)4|0〉B+

同理,对于Alice和Bob的其他的测量结果,Bob和Alice只需根据接收到的测量结果分别对粒子(6,7)和粒子(4)实施相应的幺正变换,并引入一个辅助粒子再做一次单粒子测量,即可分别恢复Alice和Bob想传输的粒子态,传送成功的总概率分别为2|a2|2和2|a1|2.特别地,当信道为最大纠缠态时,双方成功率达到1.

3 结论

表1 传输效率比较

上面的方案可以有效地提升量子隐形传态的效率,相信未来一定存在提升量子通信的效率的更优方案.同时，多发送方、多接收方和多控制方的情况在量子隐形传态中将会越来越普遍,理想情况下,控制方的加入能够极大提高整个过程的安全性,所以我们会在这方向上做更多的工作.