高职《高等数学》知识育人体系探析*——“定积分及其应用”为例

秦 娟

（延安职业技术学院 陕西延安 716000）

随着全国高校思想政治工作会议召开，近年来，实施课程思政逐步从部分高校在“点”上的探索发展为我国高等教育界在“线”上的共识，进而形成“面”上的行动导向，最终构成“体”上的遍地开花。那么要推进课程思政建设，这是一个需要教师长期实践、不断探索的过程[1]。

高职《高等数学》课程作为一门面向工科专业开设的重要公共基础必修课，为学生后续学习专业课程奠定坚实的理论基础。课程本身蕴含深厚的数学思想及创新思维，对于培养学生的科学精神、逻辑思维及思辨能力具有极其重要的影响。

高等数学的学习是一个由简及难，不断递进的过程，这就好比是建造房屋的劳动过程。数学知识体系好比房屋主框架，学生学习态度、学习方法不同，就会形成自己专属的装修风格，从而导致有的学生住的是毛坯房，有的学生住的却是高楼大厦，让学生明白只有付出才有回报。

本文依据数学知识逻辑关系，确定了以“一元微积分学”知识主线，分成函数与极限、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用五个模块教学内容，形成了“知→析→用→拓”的递进式知识体系，创设了“点→线→面→体”多维度立体式教学框架，搭建了全面覆盖、全课育人、全程衔接的《高等数学》课程育人体系。

习近平总书记在2018 年出席博鳌亚洲论坛年会开幕式的演讲中曾引用了“积土而为山，积水而为海”，这句话出自《荀子·儒效篇》，喻指成功需要由点滴积累而来，只有坚持不懈，才能实现其量变到质变的过程。下面以“定积分及其应用”为例开展《高等数学》知识育人体系研究。

一、聚焦核心知识，挖掘思政点，点动成线

“定积分”作为一种抽象概念，对于很多学生来说是一个难点，而对于老师来说，不容易对其讲解到位，但是“定积分”作为一种思想，不仅体现了传统文化的博大精髓，而且在实际生产生活中也具有普遍意义[2]。

表1 定积分及其应用

本文以课程核心知识点“识微见远质为本，积本求原行最真——定积分及其应用”为例，通过用心挖掘数学知识点所映射的思政元素点，并且精心设计教学活动，围绕数学文化、辩证思维、大国工匠等思政要素，将数学内容蕴含的思政点与教学活动的设计点有机融合，点动成线，开展课程思政案例分析，旨在使学生明白学习就是积少成多、由小见大、日积月累的一个过程，学习的目的就是为了探求其本质，但是要想达到这个目的必须付诸行动，全身动起来“心动、脑动、行动”，让课堂活起来。

二、围绕知识逻辑体系，串联思政主线，线动成面

教师在教学实施过程中，结合数学学科特点，通过专业引领创设情境“知”概念；利用实物展示、数学软件“析”性质；巧设比喻拟人、趣味练习“用”公式；结合数学文化、社会热点“拓”应用，使学生在无形中将知识融会贯通，串联思政主线，进而达成“价值塑造、知识传授和能力培养”三维目标，逐步实现三全育人的思政效果。

图1 知识育人框架图

针对“定积分概念及其几何意义”知识点，以“积土为山，积水为海”为思政点，抓住“化整为零—近似代替—积零为整—无限逼近”所反映出来的积分思想，通过动画演示刘徽“割圆术——割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，使学生感受我国传统文化的博大精髓，以及古人的智慧，同时教育学生滴水可以穿石的精神，使学生学会用数学的眼光观察解释周围的生活现象，在面对困难时，学会化整为零、各个击破，在追求梦想时，要学会积零为整、厚积薄发。更要珍惜现在的学习时光，不断地积累知识和经验，才能使学习效果实现质的飞跃，将来才能更好地去报效祖国。正如荀子所说：不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！虽然梦想很远，但是积微方能成著，不放弃不抛弃，一路坚持，希望终究会实现。

图2 定积分概念分析图

针对“微积分基本公式”知识点，以“变动不居，积微成著”为思政点，基于辩证思维视角使学生学会善于发现和掌握规律，从变动不居的现象中发现本质，通过实践而发现真理，又通过实践而证实真理和发展真理。

针对“反常积分”知识点，以“一反常态，异途同归”为思政点，激励学生相信坚持的力量，透过现象看本质，明白“一反常态乃表象，异途同归才是真”的道理，鼓励和鞭策学生要努力学习，依据自身优势，立志成为独特的自己，彰显个人风采。

例如，曲线y=ex与x负半轴和y轴所围成的图形面积，可以借助定积分的形式与极限思想表示为，简记为。由于它在形式上与定积分相似，但又有别于定积分，所以我们给它起个名字叫作反常积分。至此，我们了解了反常积分其实是定积分的一种推广。

在讲解平面图形面积及立体体积时，则以“积铢累寸，厚积薄发”为思政点，引导学生学会多角度思考问题。

例 求曲线y2=2x与y=x-4所围成的图形的面积。

图3 几何图形

解法一：先将文字语言转化成几何图形，画出图像简图，求曲线交点以确定积分区间，联立两曲线方程，解出它们的交点。然后选择积分变量为横坐标x，积分区间为[ ]8,0，此时图像的下方边界由两条不同的曲线组成，需要以直线x=2把图像分成 1A和 2A两部分，分别求出它们的面积为

解法二：同上述方法一样，先将文字语言转化成几何图形，画出图像简图，求曲线交点以确定积分区间，联立两曲线方程，解出交点坐标，然后选择积分变量为纵坐标y，其变化范围为[- 2,4]，于是得体积微元为

由上述两种方法可以看出，从不同角度观察图形，同一个问题可以选择不同的积分变量，虽然所得结果一样，但积分变量选择得当，可使计算简便、事半功倍；同时一题多解，可以拓宽思维，感受数学魅力。正如帕金所说：“从不同的角度运用知识，知识才能活；只有活的知识才能成为力量”。

三、结合知识面搭建教学框架，面动成体

加拿大数学家詹姆斯斯图尔特的私宅是一座美得令人惊叹又带有强烈个人风格的豪华建筑，他一生的激情所在、最大成就化作曲线凝聚在这座婉转流动的建筑之中。这种设计正是受了微积分的启发。因此别墅被命名为“积分之屋（Integral House）”，那么在《高等数学》教与学过程中如何建造数学学习的积分之屋的呢？

通过学生学情分析，对接人才培养方案及课程标准，确定教学目标。为了达成目标，将“知—析—用—拓”四步骤贯穿于不同教学环节，设定对应教学策略。充分利用多种教学资源，合理使用教法学法，激活知识，以知促行，以行践知，逐步实现三全育人。

图4 教学策略图

课前，教师发布任务，学生探索完成，根据完成情况，教师及时调整策略。课中，围绕“知—析—用—拓”递进式知识体系，不管是横向，还是纵向，构建“点—线—面—体”的多维度立体式教学框架。这就好比是建造房屋，万事开头难，“知”无疑就是地基的作用，通过融入数学文化、生活现象、动画演示等变抽象为直观，引导学生理解知识点，扎实基础，易化难点。在老师的启发引导下，学生大胆设疑猜想，软件辅助分析，并利用口诀巧记等梳理头绪，攻克难点。在掌握了理论知识后，如何用才是重点，为了突破重点，设计符合学生个体优势的教学策略：爱玩—趣味练习；不服输—小组竞赛；胆子大—上台讲解；细心—动手实操。总之，变优势为动力，用行动破重点。

数学的学习离不开生活，通过情境创设，建立模型，引导学生应用数学知识解决实际问题，进而将知识内化。基于职教云平台，对教与学全过程进行多维度的系统评价，发挥导向和激励作用，以检验教与学的效果是否达成。

课后，针对学生的个性化特征，创新作业扩视野，实现学生个性化发展：布置特色作业，丰富知识外延，拓宽学生视野，打造自己专属的积分之屋。

结语

课程思政的实施贵在爱生之心，重在自然融入，精在严谨贴切，妙在画龙点睛，让思政之盐溶于教学之水，才能落实立德树人根本任务，实现三全育人目标[3]。

依据《高等数学》课程学科特性，找对思政契合点，深度挖掘知识内涵，将数学思维与实际生活结合，让学生感受到数学之魅，体验到科学精神、工匠精神、家国情怀、危机感和使命感等思政要素，并热衷于对数学知识的探索和追求，达到润物无声的效果，促进学生智慧生成，从而使数学课堂绽放思政之花，丰收学习硕果。