具有阶段结构种群模型的局部稳定性分析

2022-10-13 06:15于倩
科技资讯 2022年20期
关键词:平衡点特征值捕食者

于倩

(吉林师范大学 吉林长春 130000)

广义系统又可以叫作奇异系统,该系统理论的产生,已经被诸多领域广泛应用,比如电路系统理论、经济学系统理论、航天工程系统理论等。近年来,很多学者用广义系统理论来研究多种生物种群动力系统。文献[1]研究了具有阶段结构的食饵——捕食者系统以及具有阶段结构的单种群模型系统,并分析了系统在平衡点附近的是否具有稳定性。文献[2-5]研究了具有阶段结构的广义食饵—捕食者系统,在这些文献中所建立的系统,有考虑到食饵的幼年和成年的问题,也有考虑到捕食者的幼年和成年的问题,同样的,也分析了系统在正平衡点附近的局部动态行为。

该文将继续研究具有阶段结构的广义食饵——捕食者系统。在该文中,系统中对于食饵和捕食者而言,考虑到了食饵的幼年和成年的问题,且捕食者仅捕获成年的食饵。为了后续研究捕获行为产生的经济效益问题系统中也将对捕食者进行捕获的经济因素考虑在内。

1 预备知识

引理1 劳斯-霍尔维茨判据[6]若系统的特征方程为

其中,当k>n时有ak=0,则q(λ)=0 根的实部均为负的充要条件是Ak>0并且ak>0。

引理2(奇异诱导分岔定理[7])对于广义系统

其中,x为n维系统变量,y为m维系统变量,λ表示p维数的系统参数。令D表示微分算子,Δ=det(Dyg),如果该系统在(0,0,δ0)满足下列条件。

(1)f(0,0,δ0)=0,g(0,0,δ0)=0,Dyg在(0,0,δ0)附 近有一个零特征值并且trace(Dyfadj(Dyg)Dxg) ≠0。

在Rn+m+1空间内,在系统式(1)的平衡点附近存在一个光滑曲面,该曲面通过并且与奇异曲面相切于(0,0,δ0),系统式(1)在该平衡点附近出现奇异诱导分岔。

当δ增加通过δ0时,如果U/I>0,那么系统式(1)在该平衡点的线性化矩阵的一个特征值从C-平面变化到C+平面,如果U/I<0,那么系统式(1)在该平衡点的线性化矩阵的一个特征值从C+平面变化到C-平面;而系统式(1)其他特征值保持有界性并。其中

2 系统建立

假设该系统生存在一个特定的环境中,此环境中部分资源是有限的,而这部分资源又是系统内各种群生存的必要条件;又假定生物群体的生长不受季节的影响;再假定在任何时期内,对于具有阶段结构的种群的种群密度,幼年种群与成年种群成正比,则食饵的内禀增长率为n,种群的死亡率与种群密度成比例,其中幼食饵种群的死亡比例系数为d1。成年食饵种群的死亡比例系数为d2,捕食者种群的死亡比例系数为d3;根据前面对于特定环境的假定,可以说明幼食饵种群内部存在竞争,同样,捕食者种群内部也存在竞争,且种群的竞争行为和种群密度是成比例的,则令幼食饵的竞争比例系数为s1,捕食者的竞争比例系数为s2;该文对具有阶段结构的种群进行研究,但只针对食饵种群的阶段结构,还未考虑捕食者种群的阶段结构因素,且仅对成年食饵进行捕获,捕食率为m。上述提到的各个参数均为正的常数,w表示捕食者种群的市场单位价格,c表示捕获捕食者所产生的单位成本,v表示捕获捕食者所产生的经济收益。

根据以上的假设,可以建立如下广义种群系统模型。

该系统满足如下初值条件:

其中,x1(t)与x2(t)分别表示幼年食饵种群密度与成年食饵种群密度,y(t)表示捕食者种群密度,E(t)表示捕食者种群的捕获努力量。

根据H.S.Gordon 提出有关公共资源理论[8],该理论中指出,当经济利益为零时,系统会出现“生态经济平衡”现象。在系统式(2)中,在正平衡点[9]处出现“生态经济平衡”现象,此时,可求得

系统局部稳定性分析如下。

通过引理2,可令Δ=det(DEh)=wy(t) -c,通过简单计算有

显然,

通过以上的分析,可以整理得到以下4点:

(1)显然f(0,0,0)=0,g(0,0,0)=0,DEh在正平衡点附近有一个零特征值且trace(DEfadj(DEh)DGh)|P*≠0。

(4)显然可得

由以上内容可得引理2中的3个条件均可满足,所以系统式(2)在正平衡点附近出现奇异诱导分岔,而且可以看出v等于0是分岔值。

经过简单计算可以得到

所以,由引理2 可以得到,当v由小于0 增加到大于时0,如果U/I>0,那么系统式(2)在该平衡点的线性化矩阵的一个特征值从C-平面变化到C+平面。

系统式(2)在正平衡点附近的线性化矩阵为

所以,系统式(2)在平衡点附近的特征方程为

由建立系统模型的条件以及式(3)可知,以下两式成立

因此,根据引理1可以得知系统式(2)在正平衡点的线性化矩阵的其余两个特征值λ2,λ3都具有负实部.又通过以上证明可知,当v由小于0 增加到大于0 时,只有特征值λ1从C-平面变化到C+平面,而λ2,λ3这两个特征值一直处在在C-平面,并且他们的变化是连续且有界的,也就是说,只有λ1的变化对系统式(2)在正平衡点附近的稳定性有影响,而λ2,λ3不影响系统式(2)在正平衡点附近的稳定性。如表1中给出当v由负到正通过0时,λi(i=1,2,3)实部的变化情况。

表1 系统式(2)在正平衡点附近的线性化矩阵特征值实部符号

根据表1可以得出当v<0时,系统式(2)在正平衡点附近稳定;当v>0 时,系统式(2)在正平衡点附近不稳定[10,11]。

3 结语

上述证明结论表明,当v由小于0 增加到大于0时,系统式(2)正平衡点附近出现SIB分岔并且不具有稳定性,且分岔值为v=0。而SIB 分岔会导致脉冲现象,这可能会使模型系统式(2)崩溃,也就是说,当经济利益为正时,会阻碍生态系统捕获的可持续发展,因此为了使生物资源的可持续发展,应该在经济上能够获取收益时,消除奇异诱导分岔引起的脉冲现象,使模型系统式(2)稳定,此部分内容将作为笔者的后续研究内容。

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