一种新型球面调和函数的柔性体仿真方法＊

查雁南

(广州工程技术职业学院王世安计算机仿真工作室，广东 广州 510075)

0 引言

虚拟现实，就是虚拟和现实相互结合。从理论上来讲，虚拟现实技术（VR）是一种可以创建和体验虚拟世界的计算机仿真系统，它利用计算机生成一种模拟环境，使用户沉浸到该环境中。虚拟现实技术就是利用现实生活中的数据，通过计算机技术产生电子信号，将其与各种输出设备结合使其转化为能够让人们感受到的现象，这些现象可以是现实中真真切切的物体，也可以是我们肉眼所看不到的物质，通过三维模型表现出来。

虚拟现实世界中，主要分为刚性物体和柔性体（非刚性物体）；刚性体的仿真模拟过程，一般应用牛顿经典力学相关原理，包括碰撞过程中的动量和能量守恒等；柔性体的特点是材料粒子间的变化具有牵扯性和连续性，即当物体上某一点受力形变时，粒子间的牵扯力会引起相邻点的粒子也发生移动，从而造成物体在受力点处一定范围内的形状发生连续改变，例如弹性或塑性形变。因此，在对柔性体进行建模仿真时，需要综合考虑物体的材质和粒子间的力学性能，这相比于不考虑形变的刚体建模具有更高的复杂性。

对柔性物体的几何变形和应力应变等建模，包括两大类，分别为基于几何的应力应变建模和基于物理意义的应力应变建模。基于几何的应力应变建模，通过插值拟合的方法可直接改变物体表面的分割点，从而改变物体几何形状。应力应变的大小与物体的形变成正比，常见的有基于正方形面片和三角面片模型。基于物理意义的应力应变模型则基于物体的力学本构方程，通过分析力和形变的关系对柔性物体进行建模，最常见的是弹簧质点模型和边界元模型，但两者都存在着不足之处。

针对这些问题，文献[5]提出运用绝对节点坐标的方法，即采用基于Hertz 接触碰撞理论，给出了碰撞力计算表达式，对空间中虚拟柔性体进行建模。此方法实现了基于绝对节点坐标的柔性体间、柔性体与刚体间的建模与实时碰撞仿真。本文提出了一种新型的基于球面调和函数的有限元解决方法，用于准确分析柔性体或非刚性物体在碰撞或者运动过程中受力而导致的形变，从而达到快速柔性体仿真模拟；该方法中，利用球面调和函数的正交归一性对柔性体的应力应变信息进行重构，充分表达柔性体的细节部分，实现柔性体的精准仿真模拟和即时表达，提升沉浸感且提升虚拟环境中的交互操作能力。

1 球面调和函数与成像原理

球面调和函数是调和函数的一种。类似于傅里叶函数，它是一组正交、完备的函数系。球面上任意连续函数，都可以通过球面调和函数线性组合表示，即

与(,)之间的关系为：=(,,)=(,,，这样，Y()可以写为

文献[6]推导了基于球面调和函数的成像公式为

从式⑶可以看到，基图像b完全由物体的内在属性d和n决定，成像的外在条件——光照条件则通过光线系数l组合表示。

文献[6]指出，成像过程中，朗伯核函数扮演着低通滤波器的作用，滤除了光线函数高频部分对反射函数(n)的影响，即

基于球面调和函数的成像公式则可以写为

这说明可以通过少量的、有限维的基图像构建出人脸模型，而这些基图像只与物体如柔性体表面的属性有关，与外界的光照条件无关。在仿真建模软件如Unity 3D中，我们可以手动设置相应的光照参数。

2 基于球面调和函数和有限元思想的柔性体仿真模拟

将球面调和的描述因子参数化，则可得任意一个单连通曲面拓扑结构等价的球面，为：

其中，(,)，(,)和(,)是和中的坐标函数。

根据多尺度性，本文作者开发了一个程序FlexSim-T（Flexible Body Simulation Tool），使用者可以通过交互方式改变其中的参数得到任意柔性体的任意形状。我们分别用该程序以及传统的仿真交互设计软件Unity 3D 来对牵引供电系统中的铜接触线进行模拟仿真。铜接触线的具体参数如表1 所示，其外形和横截面信息如图1和图2所示。

表1 铜接触线部分物理参数

图1 原装的铜接触线

图2 试验采用的铜接触线

3 实验和计算结果

实验步骤以及实验条件等说明如下：

⑴按表1选取截面积85平方毫米，长度300毫米的铜接触线。

⑵让接触线一端固定，另一端自由活动。

⑶在自由端，即图3 中A10 所处位置，施加大小为10N 的力的作用，力的方向垂直向下；按图3所标注的位置，测量每个位置的受力后变形的尺寸，即受力后锁在的位置与以固定端平齐的水平线之间的距离；使用Keyence 的型号为VK-X100 电子显微镜来进行观察和测量。

图3 铜接触线变形量测量位置2D示意图

⑷按图3 所示位置，在FlexSim-T 和U3D 中依据相同的铜接触线进行建模，然后模拟其在A10 处受到相同的垂直向下、大小为10N的力的作用，测量不同位置（A1 到A10）的变形量。实验结果和仿真模拟结果如表2所示。

表2 实验结果和仿真模拟结果对比

⑸增加铜接触线单元数量，分别用FlexSim-T 和U3D 来模拟，单元数量从10 到100，递增为10；记录不同单元数量时两种方法模拟的变形量之间的差别。两种模拟仿真计算结果如表3所示。

表3 不同单元数量时两种模拟仿真计算结果对比（FlexSim-T vs u3d）

由图4 和图5 的数据对比可知，FlexSim-T 建模的计算结果与实测数据差别更小，比Unity 3D 更能有效模拟铜接触线在实际运行时的情况；另外，随着单元数目的增加，FlexSim-T 和Unity 3D 的计算结果越来越接近，同时也表明，FlexSim-T 在单元数较少时具有较明显的优势。

图4 FlexSim-T、Unity 3D测试结果与实验结果的对比

图5 FlexSim-T、Unity 3D仿真方法差异数与单元数的关系图

4 结束语

本文在分析球面调和函数成像理论的基础上，结合有限元思想，将由球面调和函数决定的柔性体离散成有限的单元，提出且初步验证了一种新型的基于球面调和函数及有限元思想的柔性体仿真方法。实验结果表明，该新型方法的建模形式简单，仿真模拟的结果更接近实际的柔性体在受力时发生的真实情况，这为虚拟现实领域中实现高度还原甚至100%还原现实世界提供了一种高效的解决手段，通过这种模拟方法可以让高铁接触网工程师实时查看接触线架设在不同高度与受电弓接触时受力和形变的情况，通过模拟得到更优的接触网架设方案。