基于核心素养的高中数学美育教学实践研究——以“三角函数的图像与性质”为例

陈建权

随着数学课程改革的推进，数学美育的研究受到广泛关注。数学美育又被称为“数学美学教育”，是一种以培养学习者数学审美能力、审美情趣、审美理想为目标的教育，它是数学知识的提炼与深化，是一线数学教师专业功底与思想情操的体现与凝练。因而，教学实践中教师理当用心领会、精心设计，构建每堂课的美育——“筑课魂”。数学课一旦有了“灵魂”，课堂内容就能自然生长——更加立体、深刻、生动。

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》特色之一是凝练了六大核心素养。对此，张奠宙先生从“真、善、美”的角度分析了数学学科核心素养，认为培养和提高学生的数学学科核心素养就是引导学生欣赏数学智慧之“美”[1]。那么如何在数学教学中更有效地实施美学教育，引导学生感悟、欣赏数学之美呢？张奠宙先生提出：对比分析，体察古今中外的数学理性精神；提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶；构作意境，沟通数学思考背后的人文情景[2]。笔者以此做了大量实践研究，取得了一定的效果，下面以高中数学新教材A 版“三角函数的图像与性质”为例，谈谈关于这方面的思考。

一、把握数学美的内涵

数学教学中的美学教育有四个层次：美观、美好、美妙、完美。三角函数图像与性质的教学是体现这四个层次特性的有效载体，表现为简洁美、和谐美、对称美、意境美。

（一）简洁美

对照高中数学新教材，这里提到的“简洁”二字可以延伸为凝练、浓缩，主要体现在结构、方法及形式上，将复杂的实际问题或图像化归为简洁又整齐的数学式。如，正弦函数y=sin x（x∈R）的巧妙就在于它不曾含有复杂、多余的内容，仅是简单地将函数中最常见的自变量x、因变量y 置于同一个数学式内，一目了然地指出自变量的取值范围为（-∞，+∞），就表示了一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。教学中，采用“五点法”作图，同学们先描出关键的五点，而后想象图像可能的形状，再用平滑的曲线画出图像，可以让同学们充分感受到直观想象的乐趣。

（二）和谐美

结合文献资料与新教材内容发现，数学的和谐美大致分为五大类型：条件与结论的和谐、结构与形式的和谐、函数与图像的和谐、知识架构与解题策略的和谐、数学思想与解题路径的和谐。将和谐之美贯穿于课堂教学，一方面能够“洗礼”学生的心灵，助学生炼就一双“慧眼”识美，另一方面也能够促使学生透过“文字”领悟“内涵”，增强学生的逻辑推理能力。正弦函数y=sin x（x∈R）与余弦函数y=cos x（x∈R）图像起伏对称、错落有致，彰显出数学的和谐之美。

（三）对称美

对称美，是较为容易感受的，大致分为点对称、轴对称、面对称，主要体现于图形上，这里值得关注的是，数学的对称美也会体现于代数上。如，正弦函数 y=sin x，x∈[-π，π]的图像之妙就在它关于原点O（0，0）对称，同时通过平移得到余弦函数 y=cos x，x∈[-π，π]的图像，该图像关于 y 轴对称。

（四）意境美

三角函数图像的意境之美，可以用“君看一叶舟，出没风波里”（出自范仲淹《江上渔者》）加以描摹，人文意境、数学意境和人生哲理相互交融,浑然一体。讲到这里，学生脑海里就会浮现一叶小舟在波浪上不断颠簸。有学生曾用正弦曲线来描写人生的经历：处在顶峰时，要当心高处不胜寒，务须戒骄戒躁；下跌到低谷时，不可失落，确信经过不懈努力，定能回归到人生的高点[3]。这些联想，源于三角函数图像之美丽本色。

二、探究数学美的本质

三角学是沟通初等数学和高等数学的桥梁，是平面几何的定量化，是数形结合的典范。三角函数是描述周期现象的数学模型，是高中阶段系统学习的最后一个基本初等函数，也是进一步学习其他知识的基础，是解决生产生活问题的重要工具。研究一个新函数通常有两种方案：一种是从下至上研究，即从函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等函数性质出发，可以得到函数的图像；一种是从上至下研究，即先作出函数的图像，再依据函数的图像特征，经过严格的逻辑证明得到函数的性质。人教A 版新教材对于正、余弦函数的研究就是按照“从函数定义——作函数图像——讨论函数性质——函数模型应用”的顺序展开，属于第二种研究方案，符合科学概念和规律建构的一般思路和主体进程，力图达成学科知识结构与教学结构的有机结合[4]。数学课程深度教学，通过整体探析与理解学科本质，凝练目标与主题，借助精心设计的问题，引发学生认知冲突，注重学生在学习过程中的动机生成、情感激发、问题解决、知识建构、方法迁移和思维提升[5]。因此，教师在教学中重点引导通过研究函数图像，感悟数学图形的对称美、和谐美，从而使学生进一步欣赏数学之美;以“发现美”为目标，以“图像”为载体，以“几何画板”为教具，为学生炼就一双发现数学美的“慧眼”[6]，进而探究数学美的本质。

（一）波浪之中有对称

正、余弦函数图像呈现出对称之美，该“美”通过观察图形、点的坐标都可以清晰看到，那么对称美与正、余弦函数的性质有无关联呢？与哪个性质有关联呢？为此，笔者在课堂上组织开展了探究活动——“波浪中有对称”，该活动依据从直观到抽象、由浅表到深层的原则，设置进阶式的问题串。

问题 1：观察三角函数 y=sin x，x∈[-2π，2π]、y=cos x，x∈[-2π，2π]的图像，想一想正、余弦函数的哪个性质与对称之美有关？

设计意图：活动中，教师利用几何画板展示函数 y=sin x，x∈[-2π，2π]、y=cos x，x∈[-2π，2π]的图像，以“问题1”引导学生从函数图像的对称中，关联预习时了解的函数性质——奇偶性，使学生的心头萦绕着新疑惑——对称之美能否验证函数的奇偶性？驱动学生深层思考，培养学生的逻辑推理能力。

问题2：以对称之美为支点，思考正、余弦函数的奇偶性可以从哪两个角度理解？

问题3：结合自身择定角度验证正、余弦函数的奇偶性。

设计意图：教师提出“问题2”与“问题3”，一方面肯定了学生心中“疑”的必要性、重要性及正确性，一定程度上鼓励学生放飞思维，进行纵向、横向的拓展与验证，指出了正、余弦函数奇偶性的理解可以从多维度着手，引领学生激活已有的相关学习经验，让学生从定义、图像两个维度理解；另一方面借助“自身择定”四个字，从心理上给学生“解压”，让学生由“有”定“探”，很大程度上强化了学生探究的自信心，同时也能够为学生构建一个“看人思己”的平台，实现学生对正、余弦函数奇偶性的深层理解。紧接着，教师提出“问题4”与“问题5”，让学生从函数奇偶性转向函数的对称之美，思考正弦函数y=sin x（x∈R）的对称中心是否只有原点 O（0，0）。

问题 4：正弦函数 y=sin x（x∈R）的对称中心有且只有O（0，0）吗？它是否为轴对称图形呢？

问题5：正、余弦函数的对称轴、对称中心的书写方式是什么？

通过观察正弦函数 y = sin x，x∈[-2π，2π]的图像发现，对称中心还有 A（π，0）、B（2π，0）、C（-π，0）、D（-2π，0），对比之后归纳出正弦函数y = sin x（x∈R）的图像对称中心（kπ，0），k∈Z，且对比函数 y=sin x，x∈[-2π，2π]与 y=cos x，x∈[-2π，2π]的图像意识到，正弦函数 y=sin x（x∈R）图像是轴对称图形，进而看“图”说“轴”——x =，由数据分析推测出正弦函数 y=sin x（x∈R）对称轴

上述活动的“线”：图像对称之美→函数奇偶性→图像对称之美→对称中心、对称轴的书写形式，将数学的对称美贯穿于函数奇偶性探究的整个过程，促使学生在问题驱动下探究，加深对正、余弦函数奇偶性的理解，培养学生严谨的学习态度、数学抽象的思维能力，同时也通过学生识美、悟美，以“美”浸润学生对数学知识的厌恶，让数学课堂“活”起来、“动”起来、“美”起来。

（二）起伏之中有规律

学生从正、余弦函数图像入手，经历探究函数的奇偶性从图像、定义两个维度理解之后，由正、余弦函数图像的最高点与最低点入手，从图像的起伏思考起伏中的规律，在参与“起伏之中有规律”的探究活动中，强化学生对函数单调性、周期性、最大值与最小值的理解，推动学生的思维从“浅表”走向“深层”，更重要的是，潜移默化地强化学生对数学之美的“识”与“悟”。

问题6：看着正、余弦函数图像的起伏，你可以用哪个性质刻画？

问题7：写出正弦函数y=sin x（x∈R）的对称中心（kπ，0），k∈Z，对称轴的缘由是什么？本质源于三角函数什么性质？

问题8:正、余弦函数的对称轴与最值之间的关系是什么？

活动中，教师利用几何画板动态地展示正弦函数 y=sin x，x∈[-2π，2π]图像的起伏过程，促使学生心头萦绕疑云——正弦函数图像经历了怎样的起伏呢？使学生的目光由整体转向部分，有意识地将函数图像划分“起”、“落”（如图 1），使学生由起伏之中的规律转向研究正弦函数的单调性，并提出“找一找”“想一想”“比一比”三个子问题：（1）结合图 1 寻找正弦函数 y = sin x，x∈[-2π，2π]的单调增区间与减区间；（2）如若 x 的取值范围为R，那么正弦函数的单调区间是什么？（3）对比增区间与增区间、增区间与减区间、减区间与减区间，找出两两之间的关系是什么？驱动学生强化对函数单调性理解的基础上，进一步明确图像起伏中的规律——增减交替。但为了深刻地理解“起伏中有规律”，教师提出“问题7”，让学生由对称美转化为周期性，提出“从周期角度看，我们应该选择哪一个周期进行深层研究呢？”这一问题，驱动学生动手划分周期，明确函数周期划分方式多样性的同时，认识到从单调性划定周期较为简便，推动学生有意识地从部分到整体，强化学生对单调性、周期性的理解，加深学生对函数图像对称之美的体悟，掌握、学会用从部分到整体的思想。紧接着，教师由整体入手提出“问题8”，让学生动手写出函数的最值，从具体的数据转变为抽象的图像，明确对称轴与最值之间的关联，达成数学知识的融会贯通。上述活动的“纽带”就是函数图像的起伏，让学生由起伏中的规律转变为三角函数的性质——奇偶性、周期性、最值，使学生在问题驱动下层层深入，强化知识的理解与融会贯通，提高学生的思维能力、审美能力与审美意识。

图1. y=sin x，x∈[-2π，2π]图像

三、传递数学美的魅力

设置“三角函数的图像与性质”习题时，教师从对称之美入手，由三角函数图像转向函数方程，设置“说对称”。

习题 1：动手绘制 y=sin x，x∈[-2π，2π]或y =cos x，x∈[-2π，2π]的图像，进行轴对称与中心对称的展示。

习题2：从图的视角来看，生活中有哪些图形是轴对称?哪些是中心对称？

习题3：从数的视角来看，数学式有无对称呢？举例说明。

教师以习题为载体，引导学生从教材走向生活、从直观走向抽象。以“习题1”点拨学生思考绘制函数图像的方法——“五点法”，让学生在“绘制”与“展示”的过程中加深对三角函数对称性、单调性、周期性及最值的理解，尤其学生“展示”的过程中不知不觉地锁定“对称”二字，并以“对称美”为中心进行放射性延展。为此，教师通过“习题2”与“习题3”，引导学生认识到“对称”并非局限于图形，点拨学生从三角函数图像转向生活中的实物，再回归到数学式。该过程一方面强化对知识的理解与掌握，让学生体会数学知识的“乐”“魅”及“美”，另一方面引领学生从教材看向生活，不动声色地学以致用，更重要的是，一气呵成的展示、有理有据的联想与阐述，让学生成为数学之美的传承者，同时也发展了学生的德、智、体、劳。无论是师生还是生生之间的互动，巧妙地渗透了美育。具体来说就是分享（德）中培养学生的审美、求解（智）中掌握知识，培养“赏美”“创美”“传美”的能力，实操中成就美、塑造美，结果中展现美、传承美，最终达成美育目标[7]。

“立德树人”目标之下，美育渗透不仅是强化学生对知识的深度理解与深层掌握，为学生炼就一双发现数学美的“慧眼”，更是为学生提供历经“识美”、“悟美”、“传美”的平台，体会数学知识的“活力”与“魅力”，深刻领悟数学真谛、培养数学思维的有效途径[8]。就三角函数而言，牢记其定义和变换公式固不可少，但是揭示其真实的内涵、思想意境以及文化价值，会使学生在日后的成长中终生受用。