HPM教学实践对高中教师HSCK影响的实证研究——以三角学序言课的教学为例

■齐春燕

一、研究背景

早在19 世纪， 数学史与数学教育之间的关系已经受到欧美数学家和数学教育家们的关注。1972年，在英国埃克塞特大学召开的第二届国际数学教育大会上， 数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics， 简称HPM）成立， 该组织1976年开始隶属于国际数学教育委员会。 自此，数学史与数学教育之间的关系成了数学教育的重要学术领域之一， 我们通常也用HPM 来指代该学术领域本身。 近年来，HPM 研究领域中教师专业发展的研究越来越引起了HPM 研究者的关注[1]。 越来越多的中小学一线教师进行了数学史融入课堂教学的实践活动（简称HPM 教学实践）。 学习数学史和HPM 教学实践对教师的专业知识提升起到了促进作用[2]。 教师的专业知识可由美国学者Ball 提出的教师教学所需要的知识（MKT）来体现，其中“专门内容知识（SCK）”应该居于核心地位，体现的是教师厚实的数学学科知识，是对数学知识的深刻理解，专门内容知识对教师教学所需要知识的其他五个方面起着“锚定”的作用[3]。 通过学习数学史， 教师的专门内容知识得到了丰富，这部分知识成为基于数学史的专门内容知识 （History-based Specialized Content Knowledge， 简 称HSCK）。 虽然经过HPM 教学实践后中小学教师都认为对自己的HSCK 有影响，但对HSCK 有怎样的影响，影响的原因是什么，HPM 教学实践促进教师HSCK 发展的模型是什么，这些问题目前还缺乏深入研究，这里将以三角学序言课的教学为例，探索数学史对高中数学教师专门内容知识的影响。

二、理论基础

自Biggs Ball 团队通过扎根理论赋予了SCK内涵后，学术界对SCK 的研究也越来越多。 有学者探讨为SCK 组成成分和评价标准， 并分别对这四部分划分了五级水平[4]，也有学者从数学史的视角研究了数学史对职前教师SCK 的影响[5]。 但是从专门内容知识的视角，探讨数学史对数学教师教学影响的研究还不多，鉴于专门内容知识的重要性和数学史对专门内容知识的发展有促进作用，有必要对数学史和教师专门内容知识的联系进行研究分析。

基于HPM 理论、SOLO 分类法和SCK 理论并通过文献分析和实证研究，研究者提出了通过学习数学史对教师专门内容知识改变的概念——基于数学史的专门内容知识（HSCK）并构建了相关概念框架[6]。

人教A 版高中必修4 和必修5 中有关三角学的内容包括：三角函数、三角恒等变换和解三角形。这部分内容是高中阶段重要的学习内容，对进一步深层次的学习起着关键性作用，三角学内容在其他方面也有广泛的应用。然而，通过调查发现，有很多高中教师和学生对三角学内容存在着很多疑惑，比如初中学习了三角形，高中为什么还要学习，为什么要把角推广到任意角，引入弧度制的必要性是什么，为什么在学习三角函数时要引进单位圆，坐标系的引入起到了什么作用，学习三角函数的目的是什么以及为什么要用三角函数研究周期现象等，这说明在对三角学学习的必要性和对三角学概念、公式及定理的理解上存在着障碍。

为了使学生对三角学内容有个总体的把握，在讲这部分内容时一定要上好序言课。 通过序言课，让学生知道为什么要学这部分内容和学习什么内容以及如何学习这部分内容[7][8][9]。 要搞清楚为什么要学三角学内容，必须把三角学这部分内容的有关历史脉络搞清楚。 那么HPM 视角下的三角学序言课对高中数学教师专门内容知识有怎样的影响呢？下面对研究的过程和结果进行分析。

三、研究过程与结果

（一）研究方法与过程

本研究的目的是要探究HPM 教学实践对高中数学教师专门内容知识的影响， 主要是分析HPM教学实践前后高中数学教师HSCK 的水平是怎样的， 影响教师专门内容知识水平变化的原因等问题，故本研究采用质性与量化相结合的方法进行。

在研究对象方面， 基于沟通和研究的便利，我选择了zj、yx、sh 和gd 省（市）的12 名教师作为研究对象。这12 名教师都是自愿参加案例研究的，有6 名男教师，6 名女教师，在本研究中用T01～T12 表示12 名教师。在本研究中，研究者全程参加了教师备课、授课的过程，获得了研究的第一手资料。

研究过程分为六个步骤：

第一步，要求高中数学教师完成“三角学内容的前测”问卷，问卷内容是根据HSCK 概念框架编制的。

第二步，研究者向各位教师介绍了三角学的历史发展过程，并选择了12 篇有关HPM 理论的文献和28 篇有关三角学知识的文献与教师分享。 学习这些文献的作用是：首先，通过学习HPM 理论文献[9]，教师对数学史融入数学教学的意义、目的、价值和融入方式进行初步了解，再通过学习有关三角学知识中概念、公式和定理的历史发展过程对三角学知识有更深的理解， 然后通过学习已有HPM 案例的教学设计对具体的数学史融入教学过程有一个初步了解，另外，还向教师推荐了《中学数学中的数学史》和《数学文化透视》作为教学参考用书。

第三步，在学习了三角学的发展历史后，高中数学教师结合自己的教学经验对 “HPM 视角下的高中三角学序言课”进行教学设计并在本校选择适当的时间进行教学实施。

第四步，教学后，要求授课教师完成“三角学内容的后测”问卷，问卷内容是根据HSCK 概念框架编制的。

第五步，研究者在他们授课后进行了半结构式访谈，目的是进一步验证12 名教师在授课过程中HSCK 的具体体现。 访谈录音都进行了逐字转录。

第六步，在本研究中，12 名教师授课后都进行了教学反思，从他们的教学反思中辅助分析HPM教学实践对教师HSCK 的影响。

（二）研究结果

数学史融入教学实践对教师的HSCK 发展有一定的促进作用， 但从同课异构课的分析中发现，教师对数学史料的选择、融入方式等方面都存在差异，体现了教师不同水平的HSCK。 下面就对12 名教师HPM 视角下的高中三角学序言课教学实践的分析来研究HPM 实践对教师HSCK 的影响。 表1展示了12 名教师HSCK 前后测平均水平的变化趋势和HPM 教学实践的分析结果。

表1 12 名教师HSCK 水平和实践评价分析表

通过对12 名教师前后测的水平分析可看出教师在经历了把数学史融入教学实践后各知识水平的变化，通过对教学课堂的观察和课后访谈可辅助了解教师的HPM 教学实践对教师产生的影响。

从表中可看出，T01 和T12 两名教师HSCK 前后测的总平均水平最高，T09 教师有明显的后退，其他教师的变化不是很明显；T12 教师在教学实践中把数学史融入教学过程达到了很好的效果；T02、T06 和T07 都是教学经验丰富的教师，能在实践的四个方面进行挖掘；T01 和T08 在选择史料方面掌握得较好，但他们都没有HPM 的理论，在教学实践中对数学史的融入、 方式和价值方面都有待提高，他们获得了总分7 分；T11 和T05 两名教师把HPM课堂理解成了讲数学史的课，是纯粹地讲三角学的历史发展过程， 但凭着丰富的教学经验获得了5分； 而T03、T04 和T10 首先对三角学历史的理解上不够深刻， 其次从没有听说过HPM 的理论，在教学过程中只获得了4 分。

由以上的分析可知，通过HPM 教学实践，T03、T04、T07、T08 四名教师的HSCK 水平有一定的提高，而T01、T02、T12 三名教师的HSCK 水平基本保持不变， 但T05、T06、T09、T10、T11 五名教师通过HPM 教学实践后的HSCK 水平反而有所降低 （如图1 所示）。 这说明HPM 教学实践促进教师HSCK的发展并不是成正向关系的，通过HPM 教学实践，高中教师的HSCK 有提高、不变和降低三种情况。下面对产生这些结果的原因进行分析。

图1 12 名教师HPM 教学实践与教师HSCK 前后测水平间的关系

1.教师通过HPM 教学实践后HSCK 水平提高的原因

通过HPM 教学实践HSCK 水平提高的四名教师都具有丰富的教学经验，其中T03 和T04 的教龄在10年以上，T07 和T08 的教龄在20年以上。 通过访谈了解到， 这四名教师对数学史都比较感兴趣，但以前从没有接触过HPM 理论，不知道如何把数学史料与教学内容有机地结合起来，通过这次教学实践对HPM 理论和实践有了初步的了解。

T03 教师认为数学史让自己对三角学的前后知识框架有了全面、深入的认识，有了深入了解数学史的兴趣，理解了三角与圆在三角函数中的作用和三角函数发展的必要性；表示对数学史中的各种证明方法会根据学生情况挑选适当方法去进行教学，如两角和差公式教学中，对于几何基础较好、思考能力较强的学生会更多地介绍一些方法；在今后的教学中会考虑如何更好地将数学史自然且以学生容易接受的方式融入课堂，让数学史更好地服务于课堂教学。

T04 教师认为数学史有助于帮助自己解释引入弧度制的必要性；通过学习数学史，知道了正弦定理的不同证明方法，因为知道了历史上多种的证明方法，有利于在课堂中根据学生的基础选择合适的证明方法进行讲解，在介绍正弦定理时，就利用了天文学上对流星测量的历史背景和历史实例。

T07 认为了解了数学思路发生发展的过程，发现很多时候学生的错误与历史错误类似，学生的错误和认知障碍与数学史上的错误和认知障碍是有关联的，了解历史上的重要时刻可以为教师提供预测学生认知障碍的工具。 通过数学史，教师可以了解历史上出现过的、课堂上可能会再现的困难或障碍，从而在课堂中更有效地为学生解惑，这样教师能站在知识产生的源头的高度对教材进行适当处理，构建符合学生认知图式和适应学生心理的数学情境，适度地重视知识的发展和发生的过程，让学生在探究活动中发现数学，体现殊途同归的奥妙。

T08 认为两角和差的正弦公式推导，可考虑在教材中的向量的方法基础上，用托勒密定理等方法与学生交流。其指出有些史料的历史时间顺序不能前后颠倒，否则会作出错误解析。 并反思自己的教学，认为在融入数学史的重构式设计上，对三角学发展史的文字材料呈现可做更好的改进。

2.教师通过HPM 教学实践后HSCK 水平不变的原因

通过HPM 教学实践HSCK 水平基本不改变的三名教师都是学校的骨干教师，具有丰富的教学经验，他们的HSCK 前后测和实践水平都比较高。 其中T01 和T02 的教龄在10年以上，T12 的教龄自己在20年以上，是名特级教师。 通过访谈了解到，这三名教师在教学过程中都把数学史融入教学过程中，但融入的方式、选取史料的方式等有不同，T01 是采用附加式和复制式，T02 选取的数学史料是趣味性比较强的，T12 曾经主持过有关教学和教师教学知识的项目，对有效教学和教师专业发展有一定的研究。 这三名教师对HPM 教学都比较感兴趣，但以前从没有接触过HPM 理论，T12 是在2017年7月HPM 暑期会议上听了HPM 专家的报告后激起了对HPM 教学的兴趣。

T01 教师说通过设计主线， 串联知识框架，灵活融入，这样使知识的过渡更自然，学生更容易接受，通过数学史突破的难点在于使得三角函数与周期性的联系变得合理自然。

T02 教师认为数学史有助于帮助自己解释三角学函数的应用， 如测地球与月球之间的距离，知道了正弦定理的不同证明方法，因为知道了历史上多种的证明方法，有利于在课堂中根据学生的基础选择合适的证明方法进行讲解；学习正、余弦定理可借助日、地测量法引入；在课堂中提出了弧度制和正、余弦定理，目的是让学生意识到我们现在学习的知识源于生产、生活、科研的需要。

T12 教师在学习数学史后进行序言课设计时指出，主要以时间为轴，抓住历史发展的重大事件和关键人物，用故事的形式设计这节课，序言课或章首课应该最大限度和数学史联系，数学史最大的价值是能回答历史上的“为什么”，如三角恒等式的由来等（“为什么”可以分为逻辑上的“为什么”和历史上的“为什么”）。

3.教师通过HPM 教学实践后HSCK 水平降低的原因

通过HPM 教学实践HSCK 水平降低的五名教师中有一名教龄是6年的教师，其他四名都是具有15年以上教龄的教师。 这五名教师在教学过程中都是把数学史以附加式融入课堂中，T11 完全讲的就是一节三角学的数学史课。

T05 教师认为利用阿布·韦法的方法有助于帮助自己理解和记忆公式，利用托勒密定理有助于引出同角三角关系式和两角和正余弦公式；学习了数学史，有助于了解学生，因为学习古人思想发展的过程，可帮助老师站在知识产生的源头的高度对教材进行适当处理，构建符合学生认知图式和适应学生心理的数学情境，重视知识发展和发生的过程，让学生在探究活动中发现数学，体会殊途同归的奥妙。

T05 老师利用公元3 世纪《数学汇编》中的帕普斯模型，从平面几何中发现两角差的正余弦关系，让数学史的内容更自然地融入，让学生感受到三角学的历史发展过程。数学史为教师提供了丰富的教学素材， 教师可以从数学史料中汲取养料，获取最佳教学方法。但在丰富的数学史料面前怎样选择合适的素材融进课堂，对于没有HPM 经验的教师来说是很困难的。

T06 认为自己理解还很不够，有些问题还说不清楚。比如，现行的三角体系大约是何时形成的（主要是三角比的定义是何时出现的）？在此之前，三角知识讲些什么？所用公式都是借助于平面几何图形证明的吗？

T06 认为数学史虽然有助于对公式不同表征的转化，但实际教学中很少用，一是知道太少，二是与教学内容不容易“无缝”对接。

T09 教师说导入及授课中间插入数学史后，三角学的知识脉络更清晰了。

T10 教师认为对自己很有帮助，之前在讲三角学的相关内容时总觉得学生学得很僵硬，都是按照老师的要求生搬硬套，在数学史的引入和恰当的承接之后，可以让某些环节更自然，这时学生是自发吸收了，而不是老师强制输入的。例如弧度制、任意角三角函数的定义，在了解数学史之后，站在函数的角度去讲授这门课，而不是单纯地觉得是锐角三角函数的推广，甚至连自己都纳闷为什么要这么定义。

四、研究结论

通过研究，发现HPM 教学实践对高中数学教师基于数学史的专门内容知识有一定影响，但是对不同的教师影响程度不一致。 本研究的基本结论是：

1.教师通过HPM 教学实践后，HSCK 水平提高的原因是：

（1）教师对研究者分享的数学史料能按照史料适切性的五项原则挑选出与教学内容紧密相连的材料。

（2）能认真学习已有HPM 案例，对“HPM 视角下的高中三角学序言课”的教学设计进行了多次讨论和实施。

（3）实践后，教师能积极进行课后总结，反思数学史料选择是否合适、史料融入的方式是否恰当等。

2.教师通过HPM 教学实践后，HSCK 水平没有提高的原因是：

（1）对研究者分享的数学史料能认真学习并按照自己对史料的理解挑选出与教学内容紧密相联系的材料。

（2）学习已有HPM 案例，研究HPM 案例中数学史融入的方式和数学史在教学环节中所起的作用。

（3）教师对HPM 理论理解不深刻，在HPM 教学实践中没有做到把数学史料自然地融入教学过程中，达不到史料与教学内容的有机结合；HPM 教学实践经历太少。

3.教师通过HPM 教学实践后，HSCK 水平降低的原因是：

（1）教师对数学史的认识有偏差，认为数学史就是讲数学家的故事。

（2）不能把概念的历史发展和历史上定理的证明方法有机地融入课堂中。

（3）对HPM 理论了解不多。

（4）没有经历过HPM 教学实践实施的过程。

五、启示

从以上分析可以看出，教师把数学史融入教学中需要经历四个主要的过程：了解HPM、理解HPM、经历HPM 和实施HPM。了解HPM 是指教师通过听有关HPM 的报告， 学习有关HPM 的书籍，对HPM 产生了兴趣，对HPM 有了一些了解；理解HPM 是指帮助教师学习数学史料并进行充分理解，选出适当的数学史料；经历HPM 是指教师通过学习HPM 案例，观摩HPM 课堂，对HPM 进行了解学习的过程； 实施HPM 指的是教师对选定的主题进行数学史融入教学过程的设计和实施的过程。

图2 HPM 实践促进教师HSCK 发展的模型

不同的教师可能经历不同的过程，如第一次参加HPM 教学实践的教师要经历这四个过程：并不止一次在理解HPM、经历HPM 和实施HPM 过程中进行循环；有了HPM 经历的教师可能在实施过程中进行自身循环。每一次的循环都应该是在研讨和反思中进行的，研讨也应该是在学科组（校内）、研究组团队（不同学校）和研究共同体（一线教师、教研人员和高校研究者）中进行的。

通过该模型可以分析教师教学实践后产生的不同效果，如T12 老师教授“HPM 视角下的高中三角学序言课”的过程是这三个过程的循环，他们都经历了理解HPM、经历HPM 和实施HPM 的过程；但zp 的四名教师以前没有接触过HPM， 在准备“HPM 视角下的高中三角学序言课”前只是听了一个有关HPM 的报告，他们经历了理解数学史料和实施的过程，所以相比较而言这四名教师对HPM缺少一些理解。