利用智能手机拍摄功能测量刚体的转动惯量

张颖涛,李晓兰,孙士帅

(1.天津理工大学 聋人工学院,天津 300384；2.天津理工大学 理学院,天津 300384)

刚体转动实验的重要任务是利用转动定律测量刚体的转动惯量[1]，传统落体法测量刚体转动实验中用秒表计时落体砝码的下落时间，由人眼看到砝码下落开始计时，看到砝码落地终止计时，砝码的下落时间和摩擦力矩及砝码质量有关，摩擦力矩越小，砝码质量越大，下落时间越小，这时测量者的反应时间会引入过大的误差，经常出现多次测量中每次的测量时间差别很大的情况，可重复性差，所以如何改进实验测量以减少误差是需要研究的问题。

现代信息社会，人们的生活已经离不开智能手机，智能手机的计时功能、计算功能、拍摄功能及自身携带的各种传感器使得它就像随身携带的实验工具箱，关于智能手机在物理实验中的应用有很多相关的讨论[2-5]。为解决秒表计时存在人为反应误差问题，本文提出一种基于智能手机拍摄功能测量刚体转动惯量的方法，结果表明该方法实验过程简单、可重复性强、测量精度高，便于应用于实验教学。

1 实验原理

根据转动定律，当刚体绕固定轴转动时，有

M=Iβ

(1)

如果系统的合外力矩M和转动时的角加速度β已知，根据上述公式即可算出刚体的转动惯量。实验装置如图1所示，刚体系统在砝码重力的牵引下开始转动，系统受到对轴处的合外力矩由绳子施于塔轮上的拉力矩和轴处的摩擦力矩Mu构成，砝码m在高度h的地方从静止开始以加速度a匀加速下落，r为塔轮的半径，滑轮为轻质定滑轮，传统实验中根据转动定律及刚体转动时角量和线量的关系可得

图1 实验装置示意图

(2)

(3)

若刚体系统的转动惯量

I>>mr2

(4)

则a≪g

在式(2)中可忽略mar，则式(2)可以简化为

(5)

砝码由静止开始做匀加速直线运动，满足h=at2/2，所以根据砝码的下落时间t和下落高度h可求出砝码的加速度a，改变砝码质量，测出对应的加速度a，作m-a图，根据图线斜率即可求出刚体系统的转动惯量。

2 传统秒表计时刚体转动惯量实验中存在的问题

传统落体法测量刚体转动实验中用秒表计时落体砝码的下落时间，由人眼看到砝码下落开始计时，看到砝码落地终止计时，但是从式(3)可以看出，砝码质量m越大、摩擦力矩越小时，加速度a就越大，那么砝码下落高度一定时，下落时间就越短，这时测量者的反应时间会引入较大的误差，计时非常难以准确；砝码质量太小时其重力又将无法克服转轴的摩擦力下落。通常砝码的质量超过30 g时计时就会出现较大的偏差，经常出现多次测量时每次的结果差别很大的情况，结果完全没有重复性，这对学生正确理解实验是非常不利的，影响实验教学效果。

3 智能手机慢动作拍摄

为解决上述问题，本文提出用手机“慢动作拍摄功能“拍摄刚体的转动，根据角位移公式直接获取刚体的角加速度，替代传统秒表计时法。

图2 慢动作拍摄示意图

慢动作的本质是高速摄像，慢速播放，看起来像是动作变慢了，常用于高速运动过程的运动细节捕捉。测量如图2所示，在刚体下方套上一个不随刚体转动的同轴圆刻度盘，在刚体边缘粘上标识物便于随时读取刚体转过的角度，当刚体在砝码重力的牵引下转动时，从刚体上方使用智能手机慢动作功能拍摄刚体的转动。

所用手机慢动作功能的拍摄速度为每秒240帧，则每帧图片之间的时间间隔为1/240 s，远远小于人眼的反应时间，测量精度非常高。打开视频，沿着视频时间线移动，可以依次查看每个时刻刚体上标识物所指示的角度，再把读取数据输入Origin画图，可以看到角位置和对应的时刻与匀加速圆周运动符合的很好，根据Origin的曲线拟合功能即可得到刚体转动时的角加速度。根据转动定律，在式(4)满足的条件下可得

(6)

作m-β图，根据图线斜率可求出转动惯量。

4 实验结果与分析

实验中塔轮半径r为2.5 cm，分别选取砝码质量为10 g、20 g、30 g、40 g、50 g进行落体法测量，在塔轮上方固定手机拍摄刚体的转动过程，本实验所用手机型号为Iphone8Plus，在每个视频的中间部分采集数据，如图3所示，读取时间线上的时间和对应画面中标识物指示角度，结果如表1所示。

图3 数据读取示意图

表1 不同砝码时的时间和角位置

刚体作匀加速圆周运动，其角位置和对应的时间满足二项式公式，把数据导入Origin画图，并按照二项式拟合曲线，如图4所示，可以看到，结果和匀加速圆周运动符合的很好。

图4 时间和角度的拟合线

根据拟合结果中二次项的拟合系数即可得到刚体匀加速转动的角加速度，结果如表2所示。

表2 不同质量砝码时的角加速度

U(I)=grU(k)=0.07×10-3kg·m2

所以给定刚体系统的转动惯量为：I=(2.32±0.07)×10-3kg·m2

图5 质量m和角加速度β的拟合线

4 结 语

本文详细讨论了落体法测刚体转动惯量实验中下落时间和落体质量的关系，提出利用智能手机慢动作拍摄功能拍摄刚体的转动，根据拍摄视频的时间线依次记录刚体转过的角度，再用Origin处理数据，拟合曲线获取刚体的角加速度，改变砝码质量，测量质量和角加速度的关系可求得刚体系统的转动惯量。测量方法清晰直观、简便易懂、测量精度更高，课堂实用性强，课堂实践效果非常好。本文受到天津理工大学教学基金项目(ZD18-05)支持。